Lời giải:
Kẻ $CH\perp AD\ (H\in AD)$
$\Rightarrow ABCH$ là hình chữ nhật
Lại có: $AB = BC\quad (gt)$
$\Rightarrow ABCH$ là hình vuông
$\Rightarrow \widehat{ACB} = \widehat{ACM} = 45^\circ$
Mặt khác: $AB = BC = CH = HA$
$\Rightarrow AH = CH = HD = \dfrac12AD$
$\Rightarrow \triangle ACD$ vuông tại $C$
$\Rightarrow \widehat{ACD} = \widehat{ACN} = 90^\circ$
Gọi $K$ là giao điểm $AC$ và $MN$
Xét $\triangle AMK$ và $\triangle NCK$ có:
$\begin{cases}\widehat{M} = \widehat{C} = 90^\circ\\\widehat{AKM} = \widehat{NKC}\quad \text{(đối đỉnh)}\end{cases}$
Do đó $\triangle AMK\backsim \triangle NCK\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AK}{NK} = \dfrac{MK}{CK}$
$\Rightarrow \dfrac{AK}{MK} = \dfrac{NK}{CK}$
Xét $\triangle AKN$ và $\triangle MKC$ có:
$\begin{cases}\dfrac{AK}{MK} = \dfrac{NK}{CK}\quad (cmt)\\\widehat{AKN} = \widehat{MKC}\quad \text{(đối đỉnh)}\end{cases}$
Do đó $\triangle AKN\backsim \triangle MKC\ (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{ANK} = \widehat{MCK} = \widehat{ACM} = 45^\circ$
$\Rightarrow \widehat{ANM} = 45^\circ$
Xét $\triangle AMN$ vuông tại $M$ có:
$\widehat{ANM} = 45^\circ\quad (cmt)$
Do đó $\triangle AMN$ vuông cân tại $M$
