Ta có: $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$
Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $ACD$ ta có:
$AC^2=AD^2+DC^2=a^2+(2a)^2=5a^2\Rightarrow AC=a\sqrt5$
$\Rightarrow |\vec{AB}+\vec{BC}|=|\vec{AC}|=AC=a\sqrt5$.
Gọi $I$ là trung điểm của $DC\Rightarrow $ tứ giác $ABID$ là hình vuông
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
$\vec{AD}+\vec{AB}=\vec{AI}$
Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $ADI$ ta có;
$AI^2=AD^2+DI^2=a^2+a^2=2a^2\Rightarrow AI=a\sqrt2$
$\Rightarrow |\vec{AD}+\vec{AB}|=|\vec{AI}|=AI=a\sqrt2$
Dựng $CE\parallel=DA\Rightarrow $ tứ giác $AECD$ là hình bình hành
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
$\vec{DA}+\vec{DC}=\vec{DE}$
$\Rightarrow |\vec{DA}+\vec{DC}|=|\vec{DE}|=DE=AC=a\sqrt5$
Gọi $G$ là điểm đối xứng của $B$ qua $I\Rightarrow I$ là trung điểm của $BG$
Mà $I$ là trung điểm của $DC$
Tứ giác $DBCG$ có hai đường chéo $BG$ và $DC$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường $\Rightarrow$ tứ giác $DBCG$ là hình bình hành
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
$\vec{BC}-\vec{DB}=\vec{BC}+\vec{BD}=\vec{BG}=2\vec{BI}$
$\Rightarrow |\vec{BC}-\vec{DB}|=|2\vec{BI}|=2BI=2AD=2a$
$\vec{DA}-\vec{CB}=\vec{IB}-\vec{CB}=\vec{IB}+\vec{BC}=\vec{IC}$
$\Rightarrow |\vec{DA}-\vec{CB}|=|\vec{IC}|=IC=a$
