$a)AB=\dfrac{CD}{2}=DM$
Mà $AB//DM$
$\Rightarrow ABMD$ là hình bình hành
$\Rightarrow AD=BM$
Mà $AD=AB=DM$
$\Rightarrow ABMD$ là hình thoi
$b)AB=\dfrac{CD}{2}=CM$
Mà $AB//CM$
$\Rightarrow ABCM$ là hình bình hành
$\Rightarrow AM//BC(1)$
$ABMD$ là hình thoi
$\Rightarrow AM \perp BD(2)\\ (1)(2)\Rightarrow BD \perp BC$
$c)ABCD$ là hình thang cân
$\Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{BCD}$
$\Rightarrow \Delta ICD$ cân tại $I$
$\Rightarrow IC=ID$
Mà $AD=BC(ABCD$ là hình thang cân$)$
$\Rightarrow IA=IB(3)$
$ABCM$ là hình bình hành
$\Rightarrow AM=BC$
$ABCM$ là hình bình hành
Mà $AD=BM;AD=BC$
$\Rightarrow AM=BM(4)$
$(3)(4)\Rightarrow IM$ là trung trực $AB$
$\Rightarrow IM$ đi qua trung điểm $AB$
$d)BC=AC=4(cm)$
Kẻ $AE \perp CD$
$\Delta ADM$ đều$(AD=DM=AM)$ có $AE \perp DM$
$\Rightarrow AE$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
$\Rightarrow E$ là trung điểm $DM$
$DE=\dfrac{1}{2}DM=\dfrac{1}{2}AD=2\\ AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=2\sqrt{3}\\ S_{ABCD}=\dfrac{AE(AB+CD)}{2}=12\sqrt{3}$
