Giải thích các bước giải:
a.Ta có $CD=2AB$
$M$ là trung điểm $CD$
$\to 2DM=CD=2AB\to DM=AB$
Mà $AB//CD\to AB//DM\to ABMD$ là hình bình hành
Lại có $2AB=2AD\to AB=AD$
$\to ABMD$ là hình thoi
b.Ta có $M$ là trung điểm $CD\to MC=MD=AB$
Mà $AB//CD\to AB//MC$
$\to ABCM$ là hình bình hành
$\to AM//BC$
Lại có $ABMD$ là hình thoi
$\to AM\perp BD\to BD\perp BC$
c. GỌi $IM\cap AB=E$
Ta có $AB//CD$
$\to \dfrac{AE}{DM}=\dfrac{IE}{IM}=\dfrac{BE}{CM}$
$\to AE=EB$ vì $MD=MC$
$\to E$ là trung điểm $AB$
$\to IM$ đi qua trung điểm $AB$
d.Ta có $AB=4\to AD=AB=4, CD=2AB=8$
Lại có $ABCD$ là hình thang cân $\to BC=AD=AB=4$
Ta có $ABCM$ là hình bình hành
$\to AM=BC=AD=DM$
$\to ADM$ tam giác đều cạnh $4$
$\to MA=AB=BM=BC=CM$ cạnh $4$
$\to\Delta ABM,\Delta BMC$ đều cạnh $4$
$\to S_{ABCD}=S_{AMD}+S_{MAB}+S_{BMC}$
$\to S_{ABCD}=\dfrac{4^2\sqrt{3}}{4}+\dfrac{4^2\sqrt{3}}{4}+\dfrac{4^2\sqrt{3}}{4}$
$\to S_{ABCD}=12\sqrt{3}$