a) Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$NP^2 = NI^2 + IP^2$
$\Rightarrow IP^2 = NP^2 - NI^2$
$\Rightarrow IP = \sqrt{NP^2 - NI^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9 \, cm$
b) Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$QN^2 = QI^2 + NI^2 = 16^2 + 12^2 = 400$
Ta có: $QP^2 = (QI + IP)^2 = (16 + 9)^2 = 625$
$NP^2 = 15^2 = 225; \, QN^2 = 400$
Dễ dàng nhận thấy $QP^2 = NP^2 + QN^2$
$\Rightarrow ΔNPQ$ vuông tại $N$ (Theo định lý Pytago đảo)
$\Rightarrow QN\perp NP$
c) Từ $M$ kẻ $MH\perp QP$
$\Rightarrow MNIH$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow MN=IH; \, QH = IP$
$\Rightarrow MN = QI - IP = 16 - 9 = 7 \, cm$
$\Rightarrow S_{MNPQ} = \dfrac{1}{2}(MN + PQ).NI = \dfrac{1}{2}(7 + 16 + 9).12 = 192 \, cm^2$
d) Ta có: $\widehat{PNK}= \widehat{ENK} - \widehat{ENP} = 90^o - \widehat{ENP}$
mà $90^o - \widehat{ENP} = \widehat{PNQ} - \widehat{ENP} = \widehat{ENQ}$
nên $\widehat{PNK} = \widehat{ENQ}$
Ta lại có: $E$ là trung điểm cạnh huyền $QP \, (gt)$
$\Rightarrow EN = EQ = EP$
$\Rightarrow ΔENQ$ cân tại $E$
$\Rightarrow \widehat{ENQ} = \widehat{EQN}$
Do đó $\widehat{PNK} = \widehat{EQN} \, (=\widehat{ENQ})$
Xét $ΔNPK$ và $ΔQNK$ có:
$\widehat{K}:$ góc chung
$\widehat{PNK} = \widehat{EQN} \, (cmt)$
Do đó $ΔNPK\sim ΔQNK \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{KN}{KQ} = \dfrac{KP}{KN}$
$\Rightarrow KN^2 = KP.KQ$
