a) Dễ thấy 4 tam giác vuông AOB;AOD;COB và COD bằng nhau (2 cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)
⇒ các đường cao tương ứng kẻ từ O bằng nhau
⇒ Khoảng cách từ O đến các cạnh bằng nhau và bằng OF
⇒Đường tròn tâm O, bán kính OF tiếp xúc với bốn cạnh của hình thoi ABCD.
b) Ta có: BK⊥AB mà AB//CD nên BK⊥CD (1)
DK⊥AD mà AD//BC nên DK⊥BC (2)
Lại có CO ⊥ BD (3)
Từ (1) , (2) và (3) suy ra K là trực tâm tam giác BCD
c)
i/ $\widehat{BAD}=60^o$⇒ΔBAD đều cạnh a⇒ $S_{BAD}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
⇒$S_{ABCD}=2S_{BAD}=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$
ii/ Do ΔBAD đều nên:
$AO=\sqrt{3}}{2}a$
$R=2/3 AO=\frac{a}{\sqrt{3}}$
$⇒OK=AK-AO=2R-AO=\frac{a\sqrt{3}}{6}$
$AC=2AO=a\sqrt{3}$
$CK=AC-AK=AC-2R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Vậy: AO/OK= AC/CK=3