Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
- Chứng minh \(ABCD\) là hình bình hành.
- Gọi \(A',\,\,B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\,\,B\) lên mặt phẳng đáy còn lại của hình trụ, chứng minh \(A'B'CD\) là hình chữ nhật, từ đó chứng minh \(ABCD\) là hình chữ nhật.
- Chứng minh \(B'D\) là đường kính của đường tròn đáy của hình trụ.
- \({S_{ABCD}} = AB.BC\), tính \(BC\).
- Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông tính \(B'C,\,\,B'D\).
- Diện tích xung quanh hình trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) bằng \({S_{xq}} = 2\pi rh\).
Giải chi tiết:
Gọi \(O,\,\,O'\) lần lượt là hai tâm của hai đường tròn đáy chứa \(AB,\,\,CD\).
Ta có: \(\left( {ABCD} \right)\) cắt hai mặt phẳng đáy song song theo hai giao tuyến \(AB,\,\,CD\) \( \Rightarrow AB//CD\).
Lại có \(AB = CD = 5\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(ABCD\) là hình bình hành.
Gọi \(A',\,\,B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\,\,B\) lên mặt phẳng chứa \(\left( {O'} \right)\).
Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}A'B'\parallel AB\\A'B' = AB\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'B'\parallel CD\\A'B' = CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A'B'CD\) là hình bình hành.
Mà \(A'B'CD\) nội tiếp \(\left( {O'} \right)\) nên \(A'B'CD\) là hình chữ nhật.
\( \Rightarrow \angle B'CD = {90^0} \Rightarrow \angle B'CD\) nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(\left( {O'} \right)\).
\( \Rightarrow B'D\) là đường kính của \(\left( {O'} \right)\) \( \Rightarrow O' \in B'D\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot B'C\\CD \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {BB'C} \right) \Rightarrow CD \bot BC\).
\( \Rightarrow ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = AB.BC = 30 \Rightarrow BC = \dfrac{{30}}{{AB}} = \dfrac{{30}}{5} = 6\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác \(BB'C\) có: \(B'C = \sqrt {B{C^2} - BB{'^2}} = \sqrt {{6^2} - {5^2}} = \sqrt {11} \).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(B'CD\) có: \(B'D = \sqrt {B'{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {11 + {5^2}} = 6\).
\( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là \(r = \dfrac{1}{2}B'D = 3\).
Vậy diện tích xung quanh hình trụ đã cho là: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .3.5 = 30\pi \).
Chọn B.
