a, Có EF // AB (gt)
Mà AB ⊥ BC (ABCD là hình vuông)
⇒ EF ⊥ BC
⇒ $\widehat{FEC}=90°$
Xét ΔFEC có: $\widehat{FEC}=90°$ (cmt)
⇒ ΔFEC vuông tại E
Xét ΔGAB có: EF // AB (gt)
⇒ $\frac{EF}{AB}=\frac{EG}{GA}$ (Hệ quả định lí Talets)
ABCD là hình vuông (gt) ⇒ BC // AD Hay CE // AD
Xét ΔGAD có: CE // AD (cmt)
⇒ $\frac{EC}{AD}=\frac{EG}{GA}$ (Hệ quả định lí Talets)
Mà $\frac{EF}{AB}=\frac{EG}{GA}$ (cmt)
⇒ $\frac{EF}{AB}=\frac{EC}{AD}$
Có AB = AD (ABCD là hình vuông)
⇒ EF = EC
Xét ΔEFC vuông tại E có: EF = EC (cmt)
⇒ ΔEFC vuông cân tại E
⇒ $\widehat{ECF}=45°$ Hay $\widehat{BCF}=45°$
Xét hình vuông ABCD có: AC là đường chéo
⇒ CA là phân giác $\widehat{BCD}$
⇒ $\widehat{ACB}=\frac{\widehat{BCD}}{2}=\frac{90°}{2}=45°$
Có $\widehat{ACF}=\widehat{ACB}+\widehat{BCF}=45°+45°=90°$
⇒ CF ⊥ AC
b, Gọi giao điểm của IE và CD là N, kẻ đường cao EH ⊥ IG, FM ⊥ CG
Chứng minh tương tự như phần a, ta được BD ⊥ BH
Xét hình vuông ABCD có: BD là đường chéo
⇒ BD là phân giác $\widehat{ABC}$
⇒ $\widehat{DBC}=\frac{\widehat{ABC}}{2}=\frac{90°}{2}=45°$
⇒ $\widehat{EBH}=45°$
EH ⊥ IG (cách vẽ) ⇒ $\widehat{EHI}=90°$
Xét tứ giác IBEH có:
$\widehat{EHI}=90°$ (cmt)
$\widehat{EBI}=90°$ (CB ⊥ AI)
$\widehat{BEH}=90°$ (HE ⊥ BC)
⇒ Tứ giác IBEH là hình vuông
Mà IE là đường chéo
⇒ IE là phân giác $\widehat{BIH}$
⇒ $\widehat{BIE}=\frac{\widehat{BIH}}{2}=\frac{90°}{2}=45°$
Có BC ⊥ DG ( BC ⊥ CD), BC ⊥ AI (BC ⊥ AB)
⇒ DG // AI
⇒ $\widehat{BIE}=\widehat{ENC}=45°$ (hai góc ở vị trí so le trong) (1)
Chứng minh tương tự ta được MCFE là hình vuông
Mà CF là đường chéo
⇒ CF là phân giác $\widehat{ECM}$
⇒ $\widehat{FCM}=\frac{\widehat{ECM}}{2}=\frac{90°}{2}$=45°$ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ $\widehat{FCM}=\widehat{ENC}=45°$
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị do NM cắt EN và FC
⇒ EN // FC
Mà FC ⊥ AC (cmt)
⇒ EN ⊥ AC Hay IE ⊥ AC
Xét ΔAIC có:
CB ⊥ AI (CB ⊥ AB)
IE ⊥ AC (cmt)
CB cắt IE tại E
⇒ E là trực tâm của ΔAIC
