a)
$AN=\dfrac{1}{2}AD$ ( vì $N$ là trung điểm $AD$ )
$BM=\dfrac{1}{2}AB$ ( vì $M$ là trung điểm $AB$ )
Mà $AD=AB$ ( vì $ABCD$ là hình vuông )
Nên $AN=BM$
Xét $\Delta ABN$ vuông tại $A$ và $\Delta BCM$ vuông tại $B$, ta có:
$AB=BC$ ( vì $ABCD$ là hình vuông )
$AN=BM\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to \Delta ABN=\Delta BCM$ ( cạnh góc vuông – cạnh góc vuông )
$\to \widehat{ABN}=\widehat{BCM}$ ( hai góc tương ứng )
Mà $\widehat{ABN}+\widehat{PBC}=90{}^\circ $
Nên $\widehat{BCM}+\widehat{PBC}=90{}^\circ $
Hay $\Delta PBC$ vuông tại $P$
$\to PB\bot PC$
$\to BN\bot CM$
b)
Xét $\Delta ABN$ vuông tại $A$ và $\Delta DEN$ vuông tại $D$, ta có:
$AN=DN$ ( vì $N$ là trung điểm $AD$ )
$\widehat{ANB}=\widehat{DNE}$ ( hai góc đối đỉnh )
$\to \Delta ABN=\Delta DEN$ ( cạnh góc vuông – góc nhọn )
$\to AB=DE$ ( hai cạnh tương ứng )
Mà $AB=DC$ ( vì $ABCD$ là hình vuông )
$\to DE=DC$
$\to D$ là trung điểm $EC$
Xét $\Delta PEC$ vuông tại $P$
Có $PD$ là đường trung tuyến
$\to CD=DP$
c)
$\Delta PDC$ có $MF\,\,||\,\,DC$
$\to \dfrac{PF}{PD}=\dfrac{MF}{CD}$ ( hệ quả định lý Ta – let )
$\Delta PDE$ có $BF\,\,||\,\,DE$
$\to \dfrac{PF}{PD}=\dfrac{BF}{ED}$ ( hệ quả định lý Ta – let )
$\to \dfrac{MF}{CD}=\dfrac{BF}{ED}$
Mà $CD=ED$ ( vì $D$ là trung điểm $EC$ )
Nên $MF=BF$
Hay $F$ là trung điểm $MB$
