Cho hypebol \((H):4{x^2} - {y^2} = 4\). Tìm điểm \(M \in (H)\) sao cho: M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc \({120^0}\).
A.\({M_1}\left( {\sqrt {\frac{{48}}{5}} ;\sqrt {\frac{{17}}{5}} } \right);{M_2}\left( { - \sqrt {\frac{{48}}{5}} ;\sqrt {\frac{{17}}{5}} } \right);{M_3}\left( {\sqrt {\frac{{48}}{5}} ; - \sqrt {\frac{{17}}{5}} } \right);{M_4}\left( { - \sqrt {\frac{{48}}{5}} ; - \sqrt {\frac{{17}}{5}} } \right)\).
B.\({M_1}\left( {\sqrt {\frac{{17}}{5}} ;\sqrt {\frac{{48}}{5}} } \right);{M_2}\left( { - \sqrt {\frac{{17}}{5}} ;\sqrt {\frac{{48}}{5}} } \right);{M_3}\left( {\sqrt {\frac{{17}}{5}} ; - \sqrt {\frac{{48}}{5}} } \right);{M_4}\left( { - \sqrt {\frac{{17}}{5}} ; - \sqrt {\frac{{48}}{5}} } \right)\).
C.\({M_1}\left( {\sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right);{M_2}\left( { - \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right);{M_3}\left( {\sqrt 3 ; - 2\sqrt 2 } \right);{M_4}\left( { - \sqrt 3 ; - 2\sqrt 2 } \right)\).
D.\({M_1}\left( {2\sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right);{M_2}\left( { - 2\sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right);{M_3}\left( {2\sqrt 2 ; - \sqrt 3 } \right);{M_4}\left( { - 2\sqrt 2 ; - \sqrt 3 } \right)\).

Cho hypebol \((H):9{x^2} - 16{y^2} = 144\). Tìm điểm \(M \in (H)\) sao cho: tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là \(\frac{{24\sqrt 5 }}{5}\).
A.\({M_1}\left( {\sqrt 5 ;6} \right);{M_2}\left( { - \sqrt 5 ;6} \right);{M_3}\left( {\sqrt 5 ; - 6} \right);{M_4}\left( { - \sqrt 5 ; - 6} \right)\).
B.\({M_1}\left( {4\sqrt 5 ;16} \right);{M_2}\left( { - 4\sqrt 5 ;16} \right);{M_3}\left( {4\sqrt 5 ; - 16} \right);{M_4}\left( { - 4\sqrt 5 ; - 16} \right)\).
C.\({M_1}\left( {4\sqrt 5 ;6} \right);{M_2}\left( { - 4\sqrt 5 ;6} \right);{M_3}\left( {4\sqrt 5 ; - 6} \right);{M_4}\left( { - 4\sqrt 5 ; - 6} \right)\).
D.\({M_1}\left( {4\sqrt {15} ;16} \right);{M_2}\left( { - 4\sqrt {15} ;16} \right);{M_3}\left( {4\sqrt {15} ; - 16} \right);{M_4}\left( { - 4\sqrt {15} ; - 16} \right)\).

Cho hypebol \((H):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\), có hai tiêu điểm \({F_1},\,{F_2}\). Tính \(O{M^2} - M{F_1}.M{F_2}\)?
A.9
B.6
C.25
D.16

Cho hypebol \((H):{x^2} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm điểm \(M \in (H)\) sao cho: M thuộc nhánh phải và \(M{F_1}\) nhỏ nhất.
A.\(M(2;3\sqrt 3 )\).
B.\(M(1;0)\)
C.\(M(2; - 3\sqrt 3 )\).
D.\(M(2;3\sqrt 3 )\) hoặc \(M(2; - 3\sqrt 3 )\).

Cho hypebol \((H):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\), có hai tiêu điểm \({F_1},\,{F_2}\). Tính \({\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right)^2} - 4.O{M^2}\)?
A.9
B.64
C.125
D.16

Cho hypebol \((H):{x^2} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Có bao nhiêu điểm \(M \in (H)\) mà M có tọa độ nguyên.
A.2
B.1
C.4
D.3

Cho điểm \(I\left( {1;1; - 2} \right)\), đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm I và cắt đường thẳng \(d\) tại hai điểm \(A,B\) sao cho \(\widehat {IAB} = {30^0}\) là:
A.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 66\)
B.\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 36\)
C.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 72\)
D.\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 46\)

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {3;0;2} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\). Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm A và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn bán kính nhỏ nhất là:
A.\(x - 4y - 5z + 17 = 0\)
B.\(3x - 2y + z - 7 = 0\)
C.\(x - 4y + 5z - 13 = 0\)
D.\(3x + 2y + z - 11 = 0\)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {0; - 1;2} \right)\) và \(N\left( { - 1;1;3} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ \(K\left( {0;0;2} \right)\) đến \(\left( P \right)\) đạt giá trị lớn nhất. \(\left( P \right)\) có vector pháp tuyến là:
A.\(\left( {1;1; - 1} \right)\)
B.\(\left( {1; - 1;1} \right)\)
C.\(\left( {1; - 2;1} \right)\)
D.\(\left( {2; - 1;1} \right)\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm \(A\left( {0;0;1} \right);\,\,B\left( {m;0;0} \right);\,\,C\left( {0;n;0} \right)\), \(D\left( {1;1;1} \right)\) với \(m > 0,n > 0\) và \(m + n = 1\). Biết rằng khi m, n thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) và đi qua D. Tính bán kính R của mặt cầu đó ?
A.\(R = 1\)
B.\(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
C.\(R = \frac{3}{2}\)
D.\(R = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)