Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:
Gọi \(E,\,\,F,\,\,G,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CD,\,\,C'D',\,\,A'B'\).
Không mất tính tổng quát, ta chọn \(M \in \left( {EFGH} \right)\).
Qua \(M\) lần lượt kẻ \(\left\{ \begin{array}{l}PQ \bot EF,\,\,PQ \bot HG\,\,\left( {P \in EF;\,\,Q \in HG} \right)\\RS \bot EH,\,\,RS \bot FG\,\,\left( {R \in EH;\,\,S \in FG} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow PQ = RS = a\).
Ta dễ dàng chứng minh được
\(\begin{array}{l}MP = d\left( {M;\left( {ABCD} \right)} \right);\,\,MQ = d\left( {M;\left( {A'B'C'D'} \right)} \right)\\MR = d\left( {M;\left( {ABB'A'} \right)} \right);\,\,MS = d\left( {M;\left( {CDD'C'} \right)} \right)\end{array}\).
Theo bài ra ta có: \({V_1} = 2{V_2} \Rightarrow d\left( {M;\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = 2d\left( {M;\left( {ABCD} \right)} \right)\) \( \Rightarrow MQ = 2MP\).
Chứng minh tương tự ta có: \(MS = 2MR\).
\( \Rightarrow MP = MR = \dfrac{a}{3};\,\,MQ = MS = \dfrac{{2a}}{3}\).
Do đó \(M\) thuộc đường phân giác của \(\angle FEH\).
Mà \(EFGH\) là hình vuông nên \(EG\) là phân giác của \(\angle FEH\).
\( \Rightarrow M \in EG\).
Gọi \(O = EG \cap FH\) ta có \(EG \bot FH\) (do \(EFGH\) là hình vuông) nên \(MO \bot FH\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot EF\\CD \bot FG\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {EFGH} \right)\) \( \Rightarrow \left( {A'B'CD} \right) \bot \left( {EFGH} \right)\).
Lại có \(\left( {A'B'CD} \right) \cap \left( {EFGH} \right) = FH\), \(MO \subset \left( {EFGH} \right) \bot FH\,\,\left( {cmt} \right)\).
\( \Rightarrow MO \bot \left( {A'B'CD} \right)\)\( \Rightarrow MO \bot \left( {A'CD} \right) \Rightarrow d\left( {M;\left( {A'CD} \right)} \right) = MO\).
Vì \(EFGH\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(EO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\(EPMR\) là hình vuông cạnh \(\dfrac{a}{3}\) nên \(EM = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
\( \Rightarrow MO = EO - EM = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{6}\).
Vì \(CD \bot \left( {ADD'A'} \right)\) nên \(CD \bot A'D\), suy ra \(A'B'CD\) là hình chữ nhật.
Có \(CD = a,\,\,A'D = a\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow {S_{A'B'CD}} = a.a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 \) \( \Rightarrow {S_{A'CD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \({V_{M.A'CD}} = \dfrac{1}{3}MO.{S_{A'CD}}\) \( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{6}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{{18}}\).
Chọn C.
