Cho khối tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng \(2a\) . Thể tích khối tứ diện đã cho bằng: A.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\) B.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\) C.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\) D.\(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)
Đáp án đúng: D Giải chi tiết: Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD \Rightarrow AG \bot \left( {BCD} \right)\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD\). Do \(BCD\) là tam giác đều cạnh \(2a \Rightarrow BE = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \). \( \Rightarrow BG = \dfrac{2}{3}BE = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\). Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABG\) ta có : \(AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}} = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}\). Tam giác \(BCD\) đều cạnh \(2a \Rightarrow {S_{BCD}} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \). Vậy \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}AG.{S_{BCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}.{a^2}\sqrt 3 = \dfrac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}\). Chọn D.