Đáp án:
$S_{xq} = 2a^2\sqrt3$
Giải thích các bước giải:
Gọi $O$ là tâm của đáy $ABC$
$\Rightarrow OA = OB = OC = \dfrac{a\sqrt3}{3}$
Lại có: $A'A = A'B = A'C$
$\Rightarrow A'O\perp (ABC)$
$\Rightarrow \widehat{(AA';(ABC))} = \widehat{AA'O} = 60^\circ$
$\Rightarrow AA' = \dfrac{OA}{\cos60^\circ} = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$
Gọi $M,\ M'$ lần lượt là trung điểm $BC, B'C'$
$\Rightarrow MM'//BB'//CC'$
Ta có:
$\begin{cases}AM\perp BC\\A'O\perp BC\end{cases}$
$\Rightarrow BC\perp (A'OM)$
hay $BC\perp (AA'M'M)$
$\Rightarrow BC\perp MM'$
$\Rightarrow BC\perp CC'$
$\Rightarrow \widehat{BCC'} = 90^\circ$
mà $BB'C'C$ là hình bình hành (mặt bên của lăng trụ)
nên $BB'C'C$ là hình chữ nhật
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được: $AA'B'B$ và $AA'C'C$ là hình chữ nhật
Khi đó:
$S_{xq} = P_{ABC}.AA' = 3a\cdot \dfrac{2a\sqrt3}{3} = 2a^2\sqrt3$
