Đáp án:
$h_{ABCD.A'B'C'D'} = d(B';(A'BD)) = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $O$ là giao điểm của $AB$ và $BD$
$\Rightarrow A'O\perp (ABCD) \, (gt)$
Gọi $M$ là trung điểm của $AD$
$\Rightarrow OM\perp AD$
Ta có: $A'O$ chung; $OD = OA$ ($ABCD$ là hình chữ nhật)
$\Rightarrow A'A = A'B$
$\Rightarrow ΔA'AB$ cân tại $A'$
$\Rightarrow A'M \perp AD$
Xét hai mặt phẳng $(ADD'A')$ và $(ABCD)$ có:
$\begin{cases}(ADD'A') \cap (ABCD) = AD\\A'M \subset (ADD'A')\\A'M \perp AD \, (cmt)\\OM \subset (ABCD)\\OM \perp AD\end{cases}$
$\\\Rightarrow \widehat{((ADD'A');(ABCD))} = \widehat{A'MO} = 60^o$
$\Rightarrow A'O = OM\sqrt{3}$
mà $OM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}$ (tính chất đường trung bình)
nên $A'O = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có: $B'D'//BD$
$\Rightarrow B'D'//(A'BD)$
$\Rightarrow d(B';(A'BD)) = d(B'D';(A'BD)) = d(O';(A'BD))$ $(1)$
Với $O'$ là giao điểm của $A'C'$ và $B'D'$
Mặt khác: $O'C//A'O$
$\Rightarrow O'C//(A'BD)$
$\Rightarrow d(O';(A'BD)) = d(C;(A'BD))$
Từ $C$ kẻ $CH\perp BD$
Ta có: $A'O\perp (ABCD)$
$\Rightarrow A'O\perp CH$
mà $CH\perp BD$ (cách dựng)
nên $CH\perp (A'BD)$
$\Rightarrow CH = d(C;(A'BD))$ $(2)$
$(1)(2) \Rightarrow d(B';(A'BD)) = CH$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$
$\Rightarrow BD = 2a$
Ta có: $CD.BC = CH.BD = 2S_{BCD}$
$\Rightarrow CH = \dfrac{BC.CD}{BD} = \dfrac{a\sqrt{3}.a}{2a} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy $d(B';(A'BD)) = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
