Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(BC = AB = a\), \(AC = a\sqrt 3 \). Biết \(B'C\) tạo với đáy góc \({60^0}\). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(AC'B'B\).A.\(5\pi {a^2}\)B.\(8\pi {a^2}\)C.\(10\pi {a^2}\)D.\(7\pi {a^2}\)

2333813840271710

2 năm trước

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(BC = AB = a\), \(AC = a\sqrt 3 \). Biết \(B'C\) tạo với đáy góc \({60^0}\). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(AC'B'B\).
A.\(5\pi {a^2}\)
B.\(8\pi {a^2}\)
C.\(10\pi {a^2}\)
D.\(7\pi {a^2}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 20 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

2756203471312577

Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:
- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện.
- Áp dụng định lí Pytago để tính bán kính \(R\) của mặt cầu.
- Diện tích mặt cầu bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\).
Giải chi tiết:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(O\) là điểm đối xứng \(B\) qua \(M\).
Ta có \(AM = MC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(BM \bot AC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(B\)).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABM\) có: \(BM = \sqrt {A{B^2} - A{M^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{a}{2}\).
\( \Rightarrow OB = 2OM = a\).
Xét tứ giác \(ABCO\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MI\\MB = MO\\AC \bot OB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow ABCO\) là hình thoi.
\( \Rightarrow OA = OI = AB = BC = a\).
\( \Rightarrow OA = OB = OC\) \( \Rightarrow O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Gọi \(N\) là trung điểm của \(BB'\), qua \(N\) kẻ mặt phẳng vuông góc với \(BB'\) cắt đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) tại \(I\) ta có:
\(I\) thuộc đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow IA = IB = IC\).
\(I\) thuộc mặt phẳng vuông góc với \(BB'\) tại \(N\) \( \Rightarrow IB = IB'\).
\( \Rightarrow IA = IB = IC = IB'\) \( \Rightarrow I\) thuộc trục của \(\left( {ABB'} \right)\), chính là trục của \(\left( {ABB'A'} \right)\).
\( \Rightarrow IA = IB = IC = IB' = IA'\) \( \Rightarrow I\) thuộc trục của \(\left( {AA'C} \right)\), chính là trục của \(\left( {ACC'A'} \right)\).
\( \Rightarrow IA = IB = IC = IB' = IA' = IC'\), do đó \(I\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(AC'B'B\).
Ta có: \(BB' \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow \angle \left( {B'C;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {B'C;BC} \right) = \angle B'CB = {60^0}\).
\( \Rightarrow BB' = BC.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \) \( \Rightarrow OI = BN = \frac{1}{2}BB' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAI\) có: \(IA = \sqrt {O{A^2} + O{I^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).
\( \Rightarrow R = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\) \( \Rightarrow {S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 7\pi {a^2}\).
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình \(f\left( x \right) < m - {e^{ - x}}\) đúng với mọi \(x \in \left( { - 2;2} \right)\) khi và chỉ khi
A.\(m \ge f\left( { - 2} \right) + {e^2}\)
B.\(m > f\left( { - 2} \right) + {e^2}\)
C.\(m \ge f\left( 2 \right) + \frac{1}{{{e^2}}}\)
D.\(m > f\left( 2 \right) + \frac{1}{{{e^2}}}\)

Gọi \(X\) là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số phân biệt được lập bởi các chữ số \(0,1,2,4,5,7,8\). Chọn ngẫu nhiên một số từ \(X\). Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 4.
A.\(\frac{4}{{15}}\)
B.\(\frac{7}{{15}}\)
C.\(\frac{{49}}{{180}}\)
D.\(\frac{{53}}{{180}}\)

Cho hình nón có diện tích toàn phần bằng diện tích hình tròn có bán kính bằng \(a\sqrt 2 \). Tính thể tích lớn nhất của hình nón.
A.\(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
B.\(\frac{{\pi {a^3}}}{3}\)
C.\(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
D.\(\frac{{\pi {a^3}}}{6}\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{R}\), \(c \ne 0\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) bằng \(3\). Giá trị của \(f\left( { - 2} \right)\) bằng:
A.\( - 3\)
B.\( - 5\)
C.\( - 2\)
D.\( - 1\)

Dãy số nào sau đây có giới hạn là \( + \infty ?\)
A.\({u_n} = 3{n^2} - {n^4}.\)
B.\({u_n} = \frac{{1 + 3n - 2{n^2}}}{{3n + 4}}.\)
C.\({u_n} = \left( {3 - 2n} \right)\left( {5 - 4n} \right).\)
D.\({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{{n^4} + 7}}.\)

Dịp lễ Noel vừa qua, anh Khoa đã mua một chiếc Iphone 11 Pro Max với giá 33.990.000 đồng của cửa hàng FPT Shop để lấy lòng với “gấu” nhưng vì chưa đủ tiền mà quà thì không thể không tặng nên anh đã quyết định chọn mua theo hình thức trả góp và phải trả trước 30% giá trị món hàng. Sau đúng một tháng kể từ ngày mua, anh bắt đầu trả nợ. Hỏi mỗi tháng anh Khoa phải trả cho cửa hàng số tiền là bao nhiêu nếu muốn trả hết trong vòng một năm với lãi suất là 1,4%/tháng?
A.2.832.500 đồng
B.2.167.778 đồng
C.2.342.737 đồng
D.2.010.509 đồng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3mx + m}}\) có đúng một tiệm cận đứng?
A.\(1.\)
B.\(2.\)
C.\(3.\)
D.\(4.\)

Một hộp chứa 4 viên bi đỏ, 7 viên bi trắng, 6 viên bi xanh. Có bao nhiêu cách chọn đồng thời 4 viên bi sao cho có đủ ba màu?
A.\(1125.\)
B.\(1176.\)
C.\(168.\)
D.\(2380.\)

Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên 3 lần thì thể tích của nó tăng lên:
A.6 lần.
B.27 lần.
C.9 lần.
D.81 lần.

Cho khối chóp \(SABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(2a.\) Tam giác \(SAB\) nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy và có \(SA = a,\,\,SB = a\sqrt 3 .\) Tính thể tích khối chóp \(SACD.\)
A.\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)
B.\(\frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)
C.\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}.\)
D.\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}.\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến