Đáp án: (Có gì không hiểu thì hỏi mình nha)
Giải thích các bước giải:
-Trước hết ta chứng minh 1 bổ đề: $(A^p-B^p)\vdots(A-B)(A\neq B;p∈N)$
Ta có: $A^p-B^p$
$=A^p+A^{p-1}B+A^{p-2}B^2+....+A^{p-1}B-B^p-AB^{p-1}-A^2B^{p-2}-...-A^{p-1}B$
$=A(A^{p-1}+A^{p-2}B+A^{p-3}b^2+....+AB^{p-2}+B^{p-1})-B(B^{p-1}+AB^{p-2}+A^2B^{p-3}+...+A^{p-2}B+A^{p-1})$
$=(A-B)(A^{p-1}+A^{p-2}B+A^{p-3}b^2+....+AB^{p-2}+B^{p-1})$
Dễ thấy $(A^p-B^p)\vdots(A-B)$ (đpcm)
-Trở lại bài toán:
Đặt $n=4k+m(m,k∈N;m≤3;k≥2)$
Xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu $m=0$
$⇒n=4k⇒2^n=2^{4k}=16^k$
Ta thấy $16^k$ luôn có tận cùng là 6
$⇒n=10x+6(x∈N*)$
$⇒b=6\vdots6$
$⇒ab\vdots6$ (đpcm)
Trường hợp 2: Nếu $m>0$
Mà $m∈N;m≤3⇒2≤2^m<10$
Xét $2^n-2^m=2^{4k+m}-2^m=2^m(2^{4k}-1)=2^m(16^k-1^k)$
Theo bổ đề, ta có: $(16^k-1^k)\vdots(16-1=15)$
$⇒2^m(16^k-1^k)\vdots(15.2=30)$
$⇒2^m(16^k-1^k)\vdots(10);2^m(16^k-1^k)\vdots3$
$⇒(2^n-2^m)\vdots(10)(1);(2^n-2^m)\vdots3(2)$
Từ $(1)⇒2^n-2^m$ có tận cùng 0
$⇒2^n$ có tận cùng $2^m$
$⇒10a+b$ có tận cùng $2^m$
$⇒b$ có tận cùng $2^m$
Mà $b≤10;2≤2^m<10$
$⇒b=2^m\vdots2(*)$
Từ $(2)⇒2^n-b\vdots3$
$⇒10a\vdots3$
$⇒a\vdots3(**)$ (do $(10;3)=1$)
Từ $(*);(**)$, do $(3;2)=1$
$⇒ab\vdots(3.2=6)$ (đpcm)
