Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$:
$$\frac{a_1}{a_1+1}+\frac{a_2}{a_2+1}+...+\frac{a_n}{a_n+1} \ge n\sqrt[n]{\frac{a_1.a_2...a_n}{(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)}} $$ $(1)$
$$\frac{1}{a_1+1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n} \ge n\sqrt[n]{\frac{1}{(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)} } $$ $(2)$
Cộng hai vế $(1)+(2)$:
$⇒$ $$n \ge \frac{n\sqrt[n]{a_1.a_2...a_n} +n}{\sqrt[n]{(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)}}$$
$⇔$ $$n\sqrt[n]{(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)} \ge n(\sqrt[n]{a_1.a_2...a_n} +1)$$
$⇔$ $$(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1) \ge (\sqrt[n]{a_1.a_2...a_n} +1)^n$$
$=>$Điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi: $a_1=a_2=...=a_n$
