a) Do $CN\parallel MB$
$\Rightarrow \widehat{DMB}=\widehat{DCN}$ (2 góc ở vị trí đồng vị) (1)
và $\widehat{DBM}=\widehat{DNC}$ (2 góc ở vị trí đồng vị) (2)
Mà ta có $DM=DB$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên $\Delta DMB$ cân đỉnh $D\Rightarrow \widehat{DMB}=\widehat{DBM}$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{DCN}=\widehat{DNC}$ (do cùng bằng hai góc bằng nhau =$\widehat{DMB}=\widehat{DBM}$)
$\Rightarrow \Delta DCN$ cân đỉnh $D\Rightarrow DC=DN$ (đpcm)
b) Ta có $CM=DC-DM=DN-DB=BN$
Xét $\Delta$ vuông $ CMO$ và $\Delta $ vuông $NBO$ có:
$CM=NB$ (chứng minh trên)
$OM=OB$ $(=R)$
$\Rightarrow \Delta$ vuông $ CMO=\Delta $ vuông $NBO$ (ch-cgv)
$\Rightarrow OC=ON$ (hai cạnh tương ứng)
và $\widehat{AOC}=\widehat{BON}$ (đối đỉnh), $OA=OB$
$\Rightarrow \Delta AOC=\Delta BON$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{CAO}=\widehat{NBO}=90^o$
$\Rightarrow CA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại tiếp điểm $A$ (đpcm)
c) Ta chứng minh được $MB\bot OD$ mà $CN\parallel MB$
$\Rightarrow CN\bot OD$
$\Rightarrow S_{CDN}=2.S_{COD}=2.\dfrac{1}{2}.OM.CD=OM.CD$
Mà $OM=R$ không đổi để $S_{CDN}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $CD$ nhỏ nhất.
$CD$ nhỏ nhất khi $CD=AB$
$\Rightarrow ABDC$ là hình chữ nhật có $AB\parallel CD$
$\Rightarrow OM\bot AB$
$\Rightarrow M$ ở chính giữa cung $AB$
Vậy với $M$ ở chính giữa cung $AB$ thì $S_{CDN} $ đạt nhỏ nhất và $S_{CDNmin}=OM.AB=R.2R=2R^2$.
