a) Tứ giác $ABNM$ có $AM\parallel BN$ ( vì cùng $\bot AB$)
$\Rightarrow ABNM$ là hình thang có $\widehat A=\widehat B=90^o\Rightarrow $ tứ giác $ABNM$ là hình thang vuông
Tứ giác $ABNM$ có $O$ là trung điểm của $AB$ và $I$ là trung điểm của $MN$
$\Rightarrow IO$ là đường trung bình của hình thang $ABNM$
$\Rightarrow IO\parallel AM,BN$ mà $AM\bot AB\Rightarrow IO\bot AB$
$\Delta MON\bot O$ có $OI$ là đường trung tuyến nên $OI=IN=IM$
Từ 2 điều trên suy ra $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I,IO)$ (đpcm)
b) $\Delta IMO$ cân đỉnh $I$ (do $IM=IO$)
$\Rightarrow \widehat{IMO}=\widehat{IOM}$
Mà $\widehat{IOM}=\widehat{AMO}$ (so le trong)
Từ 2 điều trên suy ra $\widehat{IMO}=\widehat{AMO}\Rightarrow MO$ là tia phân giác của $\widehat{AMN}$ (đpcm)
c) Dựng $OC\bot MN$ (1) để chứng minh $MN$ là tiếp tuyến đường tròn tâm $(O)$ tại $C$ ta chứng minh $OC=OA$ thật vậy:
Xét $\Delta$ vuông $ AMO$ và $\Delta$ vuông $CMO$ có:
$OM$ chung
$\widehat{AMO}=\widehat{CMO}$ (chứng minh ở câu b)
$\Rightarrow \Delta$ vuông $ AMO=\Delta$ vuông $CMO$ (cạnh huyền-góc nhọn)
$\Rightarrow OA=OC$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $AB$ là tiếp tuyến đường tròn $(AB)$ (đpcm).
