Giải thích các bước giải:
a.Ta có :
$\widehat{COA}=\widehat{ODB}(+\widehat{DOB}=90^o)$
$\rightarrow \Delta AOC\sim\Delta BDO(g.g)$
$\rightarrow \dfrac{AO}{BD}=\dfrac{AC}{BO}$
$\rightarrow AO.BO=AC.BD\rightarrow\dfrac{AB}{2}.\dfrac{AB}{2}=AC.BD$
$\rightarrow AB^2=4AC.BD$
b.Từ câu a
$\rightarrow \dfrac{AC}{OB}=\dfrac{OC}{DO}\rightarrow \dfrac{AC}{AO}=\dfrac{OC}{OD}$
$\rightarrow\Delta ACO\sim\Delta OCD(c.g.c)$
$\rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{OCD}\rightarrow OC$ là phân giác $\widehat{ACD}$
Mà $OA\perp CA, OM\perp CD\rightarrow OM=OA\rightarrow AC=CM$
c.Chứng minh tương tự ta có $DM=DB$
Gọi $BC\cap AD=E\rightarrow \dfrac{AC}{BD}=\dfrac{CE}{EB}=\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{CM}{DM}$
$\rightarrow ME//AC\rightarrow ME\perp AB=H$
Lại có :
$\dfrac{ME}{BD}=\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{EH}{BD}\rightarrow EM=EH$
$\rightarrow E$ là trung điểm MH
$\rightarrow BC$ đi qua trung điểm MH
d.Ta có :
$S_{ABDC}=\dfrac{1}{2}.AB(AC+BD)=\dfrac{1}{2}.AB(CM+MD)=\dfrac{1}{2}.AB.CD\ge \dfrac{1}{2}.AB.AB$
Dấu = xảy ra $\rightarrow CD=AB$
Khi đó $ABCD$ là hình chữ nhật $CO=DO$ (do $\Delta ACO=\Delta BDO$ (AC=BD,góc vuông AO=BO))
$\Rightarrow\Delta COD\bot$ cân đỉnh O
$\Rightarrow\widehat{OCD}=45^o$
$\Rightarrow\widehat{ACO}=45^o$
$\Rightarrow\Delta AOC\bot $ cân đỉnh A
$\rightarrow AC=AO$.
