Giải thích các bước giải:
a.Ta có : $AB,AC$ là tiếp tuyến của (O)
$\to AB\perp OB, AC\perp OC,OB=OC$
Mà $AB\perp AC\to ABOC$ là hình vuông
Vì EM,EB là tiếp tuyến của (O)
$\to OE$ là phân giác $\widehat{BOM}$
Tương tự $OF$ là phân giác $\widehat{MOC}$
$\to \widehat{EOF}=\widehat{EOM}+\widehat{MOF}=\dfrac12\widehat{BOM}+\dfrac12\widehat{MOC}=\dfrac12\widehat{BOC}=45^o$
b.Ta có :
$S_{OEF}=\dfrac12OM.EF=\dfrac12R.\dfrac56R=\dfrac{5R^2}{12}$
$\to S_{AEF}=S_{ABOC}-S_{OBEFC}$
Vì $EB,EM$ là tiếp tuyến của (O)$\to S_{EMO}=S_{EBO}$
Tương tự $S_{FMO}=S_{FCO}$
$\to S_{EFOCB}=2S_{OEF}=\dfrac{5R^2}{6}$
Vì $ABOC$ là hình vuông $\to S_{ABOC}=OB^2=R^2$
$\to S_{AEF}=R^2-\dfrac{5R^2}{6}=\dfrac{R^2}{6}$
c.Vì EM,EB là tiếp tuyến của (O)$\to EM=EB$
Tương tự $FM=FC$
$\to AE=AB-BE=R-BE, AF=R-CF, EF=BE+CF$
Mà $AE\perp AF\to EF^2=AE^2+AF^2$
$\to EF^2=(R-BE)^2+(R-CF)^2\ge \dfrac12(R-BE+R-CF)^2$
$\to EF^2\ge \dfrac12(2R-EF)^2$
$\to 2EF^2\ge (2R-EF)^2$
$\to 2EF^2\ge 4R^2-4R.EF+EF^2$
$\to EF^2+4R.EF+ 4R^2\ge 8R^2$
$\to (2R+EF)^2\ge 8R^2$
$\to 2R+EF\ge 2\sqrt{2}.R$
$\to EF\ge (2\sqrt{2}-2).R$
Dấu = xảy ra khi $BE=CF\to ME=MF\to M$ nằm chính giữa cung BC
