Đáp án:

$m \in \left\{ {\dfrac{{7 + \sqrt {17} }}{2};\dfrac{{7 - \sqrt {17} }}{2};\dfrac{{ - 3 + \sqrt {41} }}{2};\dfrac{{ - 3 - \sqrt {41} }}{2}} \right\}$

Giải thích các bước giải:

 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $(P):y=x^2$ và $(d):y=2x+m^2-2m$ là:

$\begin{array}{l}
{x^2} = 2x + {m^2} - 2m\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - {m^2} + 2m = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - {m^2}} \right) - 2\left( {x - m} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {x + m - 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = m\\
x =  - m + 2
\end{array} \right.
\end{array}$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $m \ne  - m + 2 \Leftrightarrow m \ne 1$

+) TH1: ${x_1} = m;{x_2} =  - m + 2$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
x_1^3 + 2x_2^2 = 3m\\
 \Leftrightarrow {m^3} + 2{\left( { - m + 2} \right)^2} = 3m\\
 \Leftrightarrow {m^3} + 2{m^2} - 11m + 8 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {{m^2} + 3m - 8} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\left( l \right)\\
m = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {41} }}{2}\left( c \right)\\
m = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {41} }}{2}\left( c \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

+) TH2: ${x_1} =  - m + 2;{x_2} = m$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
x_1^3 + 2x_2^2 = 3m\\
 \Leftrightarrow {\left( { - m + 2} \right)^3} + 2{m^2} = 3m\\
 \Leftrightarrow  - {m^3} + 8{m^2} - 15m + 8 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( { - {m^2} + 7m - 8} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1(l)\\
m = \dfrac{{7 + \sqrt {17} }}{2}(c)\\
m = \dfrac{{7 - \sqrt {17} }}{2}(c)
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $m \in \left\{ {\dfrac{{7 + \sqrt {17} }}{2};\dfrac{{7 - \sqrt {17} }}{2};\dfrac{{ - 3 + \sqrt {41} }}{2};\dfrac{{ - 3 - \sqrt {41} }}{2}} \right\}$ thỏa mãn