Đáp án đúng: D

Giải chi tiết:a) Chứng minh rằng đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt Parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của \(m.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là:
\({x^2} = 2\left( {m - 1} \right)x - 2m + 5\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Phương trình (*) có:
\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 2m + 5\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 2m + 1 - 2m + 5\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 4m + 4 + 2\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2\end{array}\)
Vì \({\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m \Rightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + 2 > 0\,\,\forall m\).
Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\) hay đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của \(m.\)
b) Tìm các giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt Parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ tương ứng là \({x_1},\,\,{x_2}\) dương và \(\left| {\sqrt {{x_1}}  - \sqrt {{x_2}} } \right| = 2.\)
Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Để đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\,\,{x_2}\) dương thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\,\,\forall m\\2\left( {m - 1} \right) > 0\\2m - 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m > \dfrac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \dfrac{5}{2}\).
Khi đó với \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình \(\left( * \right)\), áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình \(\left( * \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right) = 2m - 2\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {\sqrt {{x_1}}  - \sqrt {{x_2}} } \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{x_1}}  - \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = {2^2}\\ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} - 2\sqrt {{x_1}{x_2}}  = 4 \Leftrightarrow 2m - 2 - 2\sqrt {2m - 5}  = 4\\ \Leftrightarrow 2m - 6 = 2\sqrt {2m - 5}  \Leftrightarrow m - 3 = \sqrt {2m - 5} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 3 \ge 0\\{\left( {m - 3} \right)^2} = 2m - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\{m^2} - 6m + 9 = 2m - 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\{m^2} - 8m + 14 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) ta có: \(\Delta ' = {4^2} - 14 = 2 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}m = 4 + \sqrt 2 \,\,\,\left( {tm\,\,m \ge 3} \right)\\m = 4 - \sqrt 2 \,\,\,\left( {ktm\,\,\,m \ge 3} \right)\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện \(m > \dfrac{5}{2}\)).
Vậy \(m = 4 + \sqrt 2 \) thỏa mãn bài toán.
Chọn D.