Cho phương trình: \({{x}^{2}}-(2m+1)x+{{m}^{2}}+2=0 \). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm \({{x}_{1}} \, \,; \, \,{{x}_{2}} \) thỏa mãn hệ thức: \(|{{x}_{1}}-{{x}_{2}}|-3=0 \) A.\(m=4\) B.\(m=-4\) C.\(m=\frac{1}{4}\) D.\(m=\frac{-1}{4}\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:Ta có: \(\Delta ={{(2m+1)}^{2}}-4({{m}^{2}}+2)=4{{m}^{2}}+4m+1-4{{m}^{2}}-8=4m-7\) Phương trình đã cho có 2 nghiệm \({{x}_{1}}\,\,;\,\,{{x}_{2}}\) khi \(\Delta \ge 0\Leftrightarrow 4m-7\ge 0\Leftrightarrow m\ge \frac{7}{4}\) Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+1\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}+2.\) Ta có: \(|{{x}_{1}}-{{x}_{2}}|\,-3=0.\) \(\begin{align} & \Leftrightarrow |{{x}_{1}}-{{x}_{2}}|=3 \\ & \Leftrightarrow {{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}=9 \\ & \Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9 \\ & \Leftrightarrow {{(2m+1)}^{2}}-4({{m}^{2}}+2)=9 \\ & \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+4m+1-4{{m}^{2}}-8=9 \\ & \Leftrightarrow 4m-7=9 \\ & \Leftrightarrow 4m=16 \\ & \Leftrightarrow m=4\,\,\,\,(t/m) \\ \end{align}\) Chọn A.