Đáp án: $m=0$
Giải thích các bước giải:
Để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt
$\to \Delta'>0$
$\to (-m)^2-1(-m-1)>0$
$\to m^2+m+1>0$ luôn đúng
$\to$Phương trình luôn có $2$ nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn:
$\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-m-1\end{cases}$
Giả sử $x_1^2=x_2$
Ta có $x^2-2mx-m-1\to x^2=2mx+m+1\to x_1^2=2mx_1+m+1$
$\to 2mx_1+m+1=x_2$
$\to x_1(2m+1)+m+1=x_1+x_2$
$\to x_1(2m+1)+m+1=2m$
$\to x_1(2m+1)=m-1(*)$
Nếu $m=-\dfrac12\to (*)$ vô nghiệm
$\to$Loại
$\to m\ne-\dfrac12$
$\to x_1=\dfrac{m-1}{2m+1}$
$\to x_2=2m-\dfrac{m-1}{2m+1}=\dfrac{4m^2+m+1}{2m+1}$
Mà $x_1x_2=-m-1$
$\to \dfrac{m-1}{2m+1}\cdot \dfrac{4m^2+m+1}{2m+1}= -m-1$
$\to \left(m-1\right)\left(4m^2+m+1\right)=(-m-1)(2m+1)^2$
$\to 4m^3-3m^2-1=-4m^3-8m^2-5m-1$
$\to -8m^3-5m^2-5m=0$
$\to -m\left(8m^2+5m+5\right)=0$
$\to m=0$
