\(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(c = {a^2} + {b^2} - {R^2}\) \( \Rightarrow \left( C \right)\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \({R^2} = {a^2} + {b^2} - c > 0\) \( \Rightarrow \) Tìm được điều kiện của \(m\). Kết hợp với đề bài để tìm được các giá trị của \(m\).Giải chi tiết:Xét phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x + 2my + 10 = 0\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - m\\c = 10\end{array} \right.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) là phương trình đường tròn \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0\\ \Leftrightarrow {1^2} + {\left( { - m} \right)^2} - 10 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 9 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m + 3} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 3\\m > 3\end{array} \right.\end{array}\) Mà \(m\) nguyên dương và \(m\) không vượt quá \(10\) nên \(m \in \left\{ {4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,9;\,\,10} \right\}\). Vậy có \(7\) giá trị của \(m\) thỏa mãn đề bài. Chọn C.
