Cho phương trình \({x^3} - m(x - 3) - 27 = 0\). Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt? A.\(m > \frac{{27}}{4}\) và \(m e 27\) B.\(m e \frac{{27}}{4}\) và \(m < 27\) C. D.\(m < \frac{{27}}{4}\) và \(m e - 27\)
Phương pháp giải: Đưa phương trình đã cho về dạng \(\left( {x - a} \right).g\left( x \right) = 0.\) Khi đó phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( e a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\g\left( a \right) e 0\end{array} \right..\) Giải chi tiết:\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{x^3} - m\left( {x - 3} \right) - 27 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 27} \right) - m\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right) - \left( {x - 3} \right)m = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x - m + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\{x^2} + 3x - m + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\g\left( x \right) = {x^2} + 3x - m + 9 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\) Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 3. \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\g\left( 3 \right) e 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 4\left( {9 - m} \right) > 0\\9 + 3.3 - m + 9 e 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 36 + 4m > 0\\m e 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{{27}}{4}\\m e 27\end{array} \right..\) Chọn A.