Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) và áp dụng hệ thức Vi-et để tìm \(m\) thỏa mãn bài toán.
Giải chi tiết:\({x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 6 = 0.\)
Ta có: \(\Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m - 6} \right) = {m^2} - 6m + 25\) \( = {\left( {m - 3} \right)^2} + 16 > 0,\forall m\)
\( \Rightarrow \) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)
Theo hệ thức Vi-et ta có: \( = \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1 - m\\{x_1}{x_2} = m - 6\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}A = \left( {x_1^2 - 4} \right)\left( {x_2^2 - 4} \right) = x_1^2x_2^2 - 4\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 16\\\,\,\,\,\, = x_1^2x_2^2 - 4{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 8{x_1}{x_2} + 16\\\,\,\,\,\, = {\left( {m - 6} \right)^2} - 4{\left( {1 - m} \right)^2} + 8\left( {m - 6} \right) + 16\\\,\,\,\, = {m^2} - 12m + 36 - 4 + 8m - 4{m^2} + 8m - 48 + 16\\\,\,\,\, = - 3{m^2} + 4m = - 3\left( {{m^2} - \frac{4}{3}m} \right)\,\\\,\,\,\, = - 3\left( {{m^2} - 2.\frac{2}{3}m + \frac{4}{9}} \right) + \frac{4}{3}\\\,\,\,\,\, = - 3{\left( {m - \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{4}{3} \le \frac{4}{3}.\end{array}\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là \(\frac{4}{3}\) khi \(m = \frac{2}{3}.\)
Chọn B.
