Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\4 - x > 0\\2 + m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x < 4\\m > - 2\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}{\log _4}{x^2} + {\log _2}\left( {4 - x} \right) = {\log _2}\left( {2 + m} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _{{2^2}}}{x^2} + {\log _2}\left( {4 - x} \right) = {\log _2}\left( {2 + m} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left| x \right| + {\log _2}\left( {4 - x} \right) = {\log _2}\left( {2 + m} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4 - x} \right)\left| x \right| = 2 + m\\ \Leftrightarrow \left( {4 - x} \right)\left| x \right| = 2 + m\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\left( {4 - x} \right) = 2 + m\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\,\,\,khi\,\,\,0 < x < 4\\x\left( {x - 4} \right) = 2 + m\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 0\end{array} \right..\end{array}\)
Xét phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - {x^2} + 4x = m + 2\)
Xét hàm số \(y = - {x^2} + 4x\) trong \(\left( {0;\,\,4} \right)\) ta có:
\(y' = - 2x + 4 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \left( {0;\,\,4} \right)\)
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow 0 < m + 2 < 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.\)
\(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;\,\,0;\,\,1} \right\}.\)
Xét phương trình \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x = m + 2\)
Xét hàm số \(y = {x^2} - 4x\) trong \(\left( { - \infty ;\,\,0} \right)\) ta có:
\(y' = 2x - 4 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 2\,\, \notin \left( { - \infty ;\,\,0} \right).\)
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow m + 2 < 0\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\)
Vậy có 3 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.
Chọn B.
