để pt có 2 nghiệm phân biệt thì `Δ>0`
`<=>[-(2m+5)]^2-4(2m+1)`
`<=>4m^2+20m+25-8m-4`
`<=>4m^2+12m+21`
`<=>4m^2+2.2m.3+9+12`
`<=>(2m+3)^2+12`
vì `(2m+3)^2>=0;12>0∀m`
`=>(2m+3)^2+12>0∀m`
`=>Δ>0`
vì pt luôn có 2 nghiệm phân biệt
áp dụng định lí vi ét ta có:
$\begin{cases} x_{1} x_{2}=2m+1\\x_{1}x_{2}=2m+5\end{cases}$
ta có:`|`$\sqrt[]{x_{1}}$`-`$\sqrt[]{x_{2}}$ `|`
`=`$(|\sqrt[]{x_{1}}-$$\sqrt[]{x_{2}}|)²$
`=x_1-2`$\sqrt[]{x_{1}x_{2}}$ `+x_2`
`=x_1+x_2-2`$\sqrt[]{x_{1}x_{2}}$
`=2m+5-2`$\sqrt[]{2m+1}$
`=2m+1-2`$\sqrt[]{2m+1}$ `+1+3`
`=(`$\sqrt[]{2m+1}$ `-1)^2+3`
vì $(\sqrt[]{2m+1}$ `-1)^2>=0(∀m)`
`=>`$(\sqrt[]{2m+1}$ `-1)^2+3>=3`
`=>`$min_{|\sqrt[]{x_{1}}|-|\sqrt[]{x_{2}} | }$
`<=>`$(\sqrt[]{2m+1}$ `-1)^2=0`
`<=>`$\sqrt[]{2m+1}$ `-1=0`
`<=>`$(\sqrt[]{2m+1}$ `=1`
`<=>2m+1=1`
`<=>m=0`
vậy $min_{|\sqrt[]{x_{1}}|-|\sqrt[]{x_{2}} | }$ `=`$\sqrt[]{3}$` <=>m=0`
