Ta có: $a=1,b'=-m,c=m-1$

$Δ'=b'^2-ac\\\quad =(-m)^2-1.(m-1)\\\quad=m^2-m+1\\\quad=m^2-2.m.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\\\quad=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}$

Nhận thấy: $\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge 0$

$↔Δ'=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge \dfrac{3}{4}>0$

$→$ Pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo Vi-ét:

$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{cases}$

$\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}=2\\↔(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})^2=4\\↔x_1-2\sqrt{x_1x_2}+x_2=4\\↔2m-2\sqrt{m-1}=4\\↔2\sqrt{m-1}=2m-4\\↔\sqrt{m-1}=m-2\\↔m-1=(m-2)^2\\↔m-1=m^2-4m+4\\↔-m^2+5m-5=0\\↔m^2-5m+5=0(*)$

$Δ=(-5)^2-4.1.5=5>0$

$→$ Pt $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt

$→\begin{cases}m_1=\dfrac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\dfrac{5+\sqrt 5}{2}\\m_2=\dfrac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt 5}{2}\end{cases}$

Vậy $m∈\left\{\dfrac{5+\sqrt 5}{2};\dfrac{5-\sqrt 5}{2}\right\}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Xét pt: $x^2-2mx+m-1=0$ ta có Δ'=$(-m)^2-1.(m-1)

                                                              =$m^2-m+1$=$m^2-m+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$

                                                              =$(m-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$>0 với ∀ m

Suy ra pt luôn có 2 nghiệm phân biệt vs ∀ m

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left \{ {{x_1+x_2=2m} \atop {x_1x_2=m-1}} \right.$ (*)

Xét biểu thức: $\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}=2$ 

                      ⇒$(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})^2=2^2$

                      ⇔$x_1-2\sqrt{x_1.x_2}+x_2=4$

                      ⇔$(x_1+x_2)-2\sqrt{x_1.x_2}_2=4$(**)

Thay (*) vào (**) ta đc: $2m-2\sqrt{m-1}=4$

⇔$2m-4-2\sqrt{m-1}=0$

⇔$m-1-\sqrt{m-1}-1=0$

⇔$(\sqrt{m-1})^2-\sqrt{m-1}+\frac{1}{4}-\frac54=0$

⇔$(\sqrt{m-1}-\frac{1}{2})^2=\frac54$

⇔$\sqrt{(\sqrt{m-1}-\frac{1}{2})^2}=\sqrt\frac54$

⇔$\sqrt{m-1}=\frac{1}{2}+\sqrt\frac54$

⇔$(\sqrt{m-1})^2=(\frac{1}{2}+\sqrt\frac54)^2$

⇔$m=1+(\frac{1}{2}+\sqrt\frac54)^2=\frac{5+\sqrt5}{2}$

Vậy...