Đáp án:

$m \in \left[ {0;5} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

Phương trình $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m = 0$ có hai nghiệm $x_1;x_2$ phân biệt

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m - 1 \ne 0\\
\Delta ' > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
{\left( { - \left( {m + 1} \right)} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)m > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
{m^2} + 2m + 1 - {m^2} + m > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
3m + 1 > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
m > \dfrac{{ - 1}}{3}
\end{array} \right.\left( 1 \right)
\end{array}$

Khi đó:

Theo ĐL Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{m}{{m - 1}}
\end{array} \right.$

Như vậy:

$\begin{array}{l}
\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \ge 2\\
 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} \ge 4\\
 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \ge 4\\
 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{m - 1}}} \right)^2} - 4.\dfrac{m}{{m - 1}} \ge 4\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} - m\left( {m - 1} \right) - {{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} \ge 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - m\left( {m - 1} \right) - {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - {m^2} + m - {m^2} + 2m - 1 \ge 0\\
 \Leftrightarrow  - {m^2} + 5m \ge 0\\
 \Leftrightarrow m\left( { - m + 5} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow 0 \le m \le 5\left( 2 \right)
\end{array}$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow m \in \left[ {0;5} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}$

Vậy $m \in \left[ {0;5} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}$

ĐK: $m\ne 1$

$\Delta'=(m+1)^2-m(m-1)=m^2+2m+1-m^2+m=3m+1$

Phương trình hai nghiệm phân biệt khi $\Delta'>0\to m>\dfrac{-1}{3}$

Theo Viet: $x_1+x_2=\dfrac{2m+2}{m-1}; x_1x_2=\dfrac{m}{m-1}$

$|x_1-x_2|\ge 2$

$\to x_2^2+x_1^2-2x_1x_2\ge 4$

$\to (x_1+x_2)^2-4x_1x_2\ge 4$

$\to \dfrac{(2m+2)^2}{(m-1)^2}-\dfrac{4m}{m-1}-4\ge 0$

$\to \dfrac{4m^2+8m+4-4m(m-1)-4(m^2-2m+1)}{(m-1)^2}\ge 0$

$\to 4m^2+8m+4-4m^2+4m-4m^2+8m-4\ge 0$

$\to -4m^2+20m\ge 0$

$\to 4m(m-5)\le 0$

$\to 0\le m\le 5$ (TM)

Vậy $m\in [0;5]$ \ $\{1\}$