Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\bot \left( ABCD \right).\) Biết \(AC=a\sqrt{2},\) cạnh \(SC\) tạo với đáy một góc \({{60}^{0}}\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên cạnh \(SC.\) Tính khoảng cách từ \(H\) đến mặt phẳng \(\left( ABCD \right).\)
A. \(\frac{3\sqrt{6}}{6}.\)        
B. \(\frac{a\sqrt{6}}{2}.\)         
C. \(\frac{a\sqrt{6}}{8}.\)          
D. \(\frac{a\sqrt{6}}{4}.\)

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại A, \(\widehat{ABC}={{60}^{\circ }}\), tam giác \(SBC\) là tam giác đều có bằng cạnh \(2a\) và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) và \(\left( ABC \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.\(\varphi ={{60}^{0}}.\)       
B.\(\tan \varphi =2\sqrt{3}.\)     
C.\(\tan \varphi =\frac{\sqrt{3}}{6}.\)                                      
D.\(\tan \varphi =\frac{1}{2}.\)

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên \(AA'\bot \left( ABC \right),\,\,AA'=a\sqrt{2}.\) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và A’C’. Tính diện tích thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua MN và vuông góc với \(mp\left( BCC'B' \right).\)
A.\(S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}.\)                                     
B. \(S=\frac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\)                                  
C. \(S=\frac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}.\)                                      
D. \(S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a.\) Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(AD\,;\) \(H\) là giao điểm của \(CN\) với \(DM.\) Biết \(SH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) và \(SH=a\sqrt{3}.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(DM\) và \(SC\) theo \(a.\)
A. \(\frac{a}{\sqrt{19}}.\)         
B. \(\frac{2\,a}{\sqrt{19}}\)      
C. \(\frac{2\sqrt{3}\,a}{\sqrt{19}}.\)                                         
D. \(\frac{\sqrt{3}\,a}{\sqrt{19}}\)

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=2\sqrt{3}\) và \(A{A}'=2.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \({A}'{B}',\,\,{A}'{C}'\) và \(BC.\) Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( A{B}'{C}' \right)\) và \(\left( MNP \right)\) bằng
A. \(\frac{6\sqrt{13}}{65}.\)    
B. \(\frac{\sqrt{13}}{65}.\)      
C. \(\frac{17\sqrt{13}}{65}.\)    
D. \(\frac{18\sqrt{63}}{65}.\)

Cho elip chính tắc (E) có tiêu điểm \({F_1}(4;0)\) và một đỉnh là \(A(5;0)\). Phương trình chính tắc của elip (E) là:
A.\({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1\)    
B.\({{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)  
C.\({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\).
D.\({x \over 5} + {y \over 4} = 1\)

Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là \(A(0; - 4)\), tâm sai \(e = {3 \over 5}\).
A.\({{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\).
B.\({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)
C.\({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1\)
D.\({{{x^2}} \over {36}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1\)

Phương trình chính tắc của elip có đỉnh là \(A(2;0)\) và đi qua \(M( - 1;{{\sqrt 3 } \over 2})\) là:
A.\({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)
B.\({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 2} = 1\)
C.\({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)
D.\({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)

Phương trình chính tắc của elip có đi qua \(M(1;{2 \over {\sqrt 5 }})\), tiêu cự là 4 là:
A.\({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {21}} = 1\)    
B.\({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)
C.\({{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)
D.\({{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)

Phương trình chính tắc của elip có diện tích hình chữ nhật cơ sở là 8 và \(e = {{\sqrt {12} } \over 4}\) là:
A.\({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 3} = 1\)
B.\({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)
C.\({{{x^2}} \over 1} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)
D.\({{{x^2}} \over 3} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)