Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

- Chứng minh \(\dfrac{1}{z} = \overline z \).
- Sử dụng \(\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|\), rút gọn biểu thức \(P\).
- Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\), thay vào và đưa biểu thức \(P\) về dạng chỉ còn biến \(x\).
- Lập BBT của \(P\) và tìm GTLN của biểu thức.
 Giải chi tiết:Ta có: \(z.\overline z  = {\left| z \right|^2} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{z} = \overline z \).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}P = \left| {{z^2} - z} \right| + \left| {{z^2} + z + 1} \right|\\P = \left| z \right|\left| {z - 1} \right| + \left| z \right|\left| {z + 1 + \dfrac{1}{z}} \right|\\P = \left| {z - 1} \right| + \left| {z + 1 + \overline z } \right|\end{array}\)
Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\), khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}P = \left| {z - 1} \right| + \left| {z + 1 + \overline z } \right|\\P = \left| {x + yi - 1} \right| + \left| {x + yi + 1 + x - yi} \right|\\P = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}}  + \sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}} \\P = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 2x + 1}  + \left| {2x + 1} \right|\end{array}\)
Mà \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}P = \sqrt {2 - 2x}  + \left| {2x + 1} \right|\\{x^2} \le 1 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 1\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow P = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2 - 2x}  + 2x + 1\,\,khi\,\, - \dfrac{1}{2} \le x \le 1\\\sqrt {2 - 2x}  - 2x - 1\,\,khi\,\, - 1 \le x < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).
+ TH1: \( - \dfrac{1}{2} \le x \le 1\) ta có: \(P = \sqrt {2 - 2x}  + 2x + 1\) \( \Rightarrow P' = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {2 - 2x} }} + 2 = \dfrac{{2\sqrt {2 - 2x}  - 1}}{{\sqrt {2 - 2x} }}\).
Cho \(P' = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {2 - 2x}  = 1 \Leftrightarrow 2 - 2x = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{8}\,\,\left( {tm} \right)\).
+ TH2: \( - 1 \le x < \dfrac{1}{2}\) ta có: \(\sqrt {2 - 2x}  - 2x - 1\) \( \Rightarrow P' = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {2 - 2x} }} - 2 < 0\,\,\forall x \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right)\).
Dễ thấy hàm số không có đạo hàm tại \(x = \dfrac{1}{2}\).
Khi đó ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy \({P_{\max }} = \dfrac{{13}}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{8} = \dfrac{a}{b}\).
Vậy \(a + b = 7 + 8 = 15\).
Chọn C