a) Ta có:
$MF\perp BH$ $(gt)$
$BH\perp AC$ $(gt)$
$\Rightarrow MF//AC \, (\perp BH)$
$\Rightarrow \widehat{BMF} = \widehat{ACB}$ (đồng vị)
mà $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ $(gt)$
nên $\widehat{BMF} = \widehat{ABC}$
hay $\widehat{BMF} = \widehat{DBM}$
Xét $ΔDBM$ va $ΔFMB$ có:
$\widehat{D} = \widehat{F} = 90^o$
$\widehat{BMF} = \widehat{DBM} \, (cmt)$
$BM:$ cạnh chung
Do đó $ΔDBM=ΔFMB$ (cạnh huyền - góc nhọn)
b) Ta có:
$ΔDBM=ΔFMB$ (câu a)
$\Rightarrow MD = BF$ (Hai cạnh tương ứng)
Xét tứ giác $MEHF$ có:
$\widehat{F} = \widehat{H} = \widehat{E} = 90^o$
Do đó $MEHF$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow ME = HF$
Ta được:
$MD + ME = BF + HF = BH$
mà $BH$ không đổi
nên $MD + ME$ không đổi
c) Gọi $I$ là giao điểm của $DK$ và $BC$
Từ $D$ kẻ $DN//AC \, (N\in BC)$
$\Rightarrow \widehat{DNB} = \widehat{ACB}$ (đồng vị)
$\Rightarrow \widehat{DNI} = \widehat{ICK}$ (Hai góc kề bù tương ứng)
Ta lại có:
$\widehat{DNB} = \widehat{ACB}$
$\Rightarrow \widehat{DNB} = \widehat{DBN}$
$\Rightarrow ΔDBN$ cân tại $D$
$\Rightarrow DB=DN$
mà $DB = MF$ $(ΔDBM=ΔFMB)$
nên $DN = MF$
mà $MF = HE$ ($MEHF$ là hình chữ nhật)
$HE = CK \, (gt)$
$\Rightarrow DN = CK$
Xét $ΔDNI$ và $ΔCKI$ có:
$DN = CK \, (cmt)$
$\widehat{DNI} = \widehat{ICK} \, (cmt)$
$\widehat{NDI} = \widehat{CKI}$ (so le trong)
Do đó $ΔDNI=ΔCKI\, (g.c.g)$
$\Rightarrow DI = KI$
$\Rightarrow I$ là trung điểm $DK$
$\Rightarrow BC$ đi qua trung điểm của $DK$
