Đáp án:
a) Đường tròn (O)(O) tiếp xúc với AB.BC,CAAB.BC,CA tại D,E,FD,E,F, tức là OO là giao của ba đường phân giác tam giác ABCABC và OD⊥AB,OF⊥AC,OE⊥BCOD⊥AB,OF⊥AC,OE⊥BC
Do đó: ODAˆ+OFAˆ=900+900=1800ODA^+OFA^=900+900=1800
⇒ODAF⇒ODAF là tứ giác nội tiếp.
Hoàn toàn tương tự: ODBE,OECFODBE,OECF nội tiếp.
Từ các tứ giác nội tiếp suy ra:
⎧⎩⎨ODFˆ=OAFˆ=Aˆ2ODEˆ=OBEˆ=Bˆ2{ODF^=OAF^=A^2ODE^=OBE^=B^2 ⇒ODFˆ+ODEˆ=Aˆ2+Bˆ2⇒ODF^+ODE^=A^2+B^2
hay EDFˆ=Aˆ+Bˆ2EDF^=A^+B^2
Tương tự: DEFˆ=Bˆ+Cˆ2DEF^=B^+C^2 và EFDˆ=Aˆ+Cˆ2EFD^=A^+C^2
Vì ABCABC là tam giác nhọn nên các góc đều nhỏ hơn 900900
⇒EDFˆ,DEFˆ,EFDˆ<900⇒EDF^,DEF^,EFD^<900
⇒△DEF⇒△DEF có 3 góc nhọn.
b)
Vì tam giác ABCABC cân tại AA nên ABCˆ=ACBˆABC^=ACB^
⇒ABCˆ=180−BACˆ2=900−Aˆ2⇒ABC^=180−BAC^2=900−A^2
Tứ giác ODAFODAF nội tiếp ⇒ADFˆ=AOFˆ=900−OAFˆ=900−Aˆ2⇒ADF^=AOF^=900−OAF^=900−A^2
Do đó: ABCˆ=ADFˆABC^=ADF^, hai góc này ở vị trí đồng vị nên DF∥BCDF∥BC
c)
{ABCˆ=ACBˆABCˆ=ADFˆ(theo phần b){ABC^=ACB^ABC^=ADF^(theo phần b) ⇒ADFˆ=ACBˆ=FCBˆ⇒ADF^=ACB^=FCB^
⇒BDFC⇒BDFC nội tiếp.
d)
BDBD là tiếp tuyến của (O)(O) nên BDMˆ=DFIˆ=DFBˆBDM^=DFI^=DFB^ (cùng chắn cung DI)
Mà do BDFCBDFC nội tiếp nên DFBˆ=DCBˆDFB^=DCB^
Từ đây suy ra BDMˆ=DCBˆBDM^=DCB^
Xét tam giác BDMBDM và BCDBCD có:
{∠B ChungBDMˆ=BCDˆ(cmt)⇒△BDM∼△BCD(g.g){∠B ChungBDM^=BCD^(cmt)⇒△BDM∼△BCD(g.g)
⇒BDBC=BMBD(1)⇒BDBC=BMBD(1)
Do DF∥BC⇒BDAB=CFACDF∥BC⇒BDAB=CFAC (theo định lý Ta -let) mà AB=AC⇒BD=CF(2)AB=AC⇒BD=CF(2)
Từ (1);(2)⇒BDBC=BMCF(1);(2)⇒BDBC=BMCF (đpcm)
