Đáp án:
$\\$
`a,`
Xét `ΔABH` và `ΔACH` có :
`hat{AHB} = hat{AHC} = 90^o`
`AH` chung
`AB = AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)
`-> ΔABH = ΔACH` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
`-> BH = HC` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
$\\$
`b,`
Có : `BH = HC` (chứng minh trên)
`-> H` là trung điểm của `BC`
`-> BH = 1/2 BC = 1/2 . 6`
`-> BH = 3cm`
Xét `ΔAHB` vuông tại `H`
`-> AH^2 + BH^2 = AB^2` (Pitago)
`-> AH^2 = AB^2 - BH^2`
`-> AH^2 = 5^2 - 3^2`
`-> AH^2 = 4^2`
`-> AH = 4cm`
$\\$
$\\$
`c,`
Có : `H` là trung điểm của `BC`
`-> AH` là đường trung tuyến của `ΔABC`
`-> GH = 1/2 AG`
mà `AG = GD` (giả thiết)
`-> HG = 1/2 GD`
`-> H` là trung điểm của `GD`
Xét `ΔBHD` và `ΔCHG` có :
`hat{BHD} = hat{CHG}` (2 góc đối đỉnh)
`HG = HD` (Do `H` là trung điểm của `GD`)
`BH= HC` (chứng minh trên)
`-> ΔBHD = ΔCHG` (cạnh - góc - cạnh)
`-> CG = BD` (2 cạnh tương ứng)
Do `G` là trọng tâm của `ΔABC`
`CG` cắt `AB` tại `F`
`-> CG = 2/3 CF`
mà `CG = BD` (chứng minh trên)
`-> BD = 2/3 CF`
$\\$
$\\$
$d,$
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔAGC` có :
`AG + CG > AC`
mà `AG = GD` (giả thiết), `CG = BD` (chứng minh trên), `AB = AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)
`-> BD + GD > AB`