a) Ta có
$\vec{AB} = (1,1)$, $\vec{BC} = (2,-2), $\vec{CA} = (3,-1)$
Khi đó
$\vec{AB}. \vec{BC} = 1.2 + 1.(-2) = 0$
Do đó $\vec{AB} \perp \vec{BC}$
Suy ra tam giác ABC vuông tại B.
b) Theo Câu a), ta có
$AB = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, BC = 2\sqrt{2}, CA = \sqrt{10}$
Vậy chu vi của tam giác ABC là
$P_{ABC} =AB + BC + CA = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} + \sqrt{10} = 3\sqrt{2} + \sqrt{10}$
Diện tích của tam giác ABC là
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AB . BC = \dfrac{1}{2} . \sqrt{2} . 2\sqrt{2} = 2$
c) - Cách 1:
Gọi $O(a,b)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
Khi đó ta có
$\vec{AO} = (a+2, b+2), \vec{BO} = (a+1, b+1), \vec{CO} = (a-1, b+3)$
Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên
$\begin{cases} AO^2 = BO^2\\ AO^2 = CO^2 \end{cases}$
Vậy ta có hệ
$\begin{cases} (a+2)^2 + (b+2)^2 = (a+1)^2 + (b+1)^2\\ (a+2)^2 + (b+2)^2 = (a-1)^2 + (b+3)^2 \end{cases}$
Giải ra ta có
$a = -\dfrac{1}{2}, b = -\dfrac{5}{2}$
Vậy $O(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{5}{2})$
Bán kính đường tròn ngoại tiếp là
$\sqrt{(a+2)^2 + (b+2)^2} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$
- Cách 2.
Gọi O là trung điểm AC.
Khi đó tọa độ điểm O là
$O(-\dfrac{1}{2} , -\dfrac{5}{2})$
Khi đó, do tam giác ABC cân tại B nên BO là trung tuyến của tam giác ứng với cạnh huyền nên
$OA = OB =OC = \dfrac{AC}{2}$
Vậy O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lại có O là trung điểm BC nên bán kính đường tròn là
$OA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$
d) Gọi $D(x,y)$ là điểm thỏa mãn tứ giác ABCD là hình bình hành. Khi đó
$\vec{DC} = (1-x,-3-y)$
Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên
$\vec{AB} = \vec{DC}$
$<-> (1,1) = (1-x,-3-y)$
Suy ra $x = 0, y= -4$. Vậy $D(0,-4)$
Do đó, với $D(0,-4)$ thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
Tuy nhiên, lại có $\widehat{ABC}$ vuông nên nó cũng là hình chữ nhật.
Vậy với $D(0,-4)$ thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật..
