`1)` $AN$ là tia phân giác của `\hat{BAC}` $(N\in EF)$
`=>\hat{BAN}=\hat{CAN}`
`=>\hat{EAN}=\hat{FAN}`
Vì $AN\perp EF$ tại $N$
`=>\hat{ANE}=\hat{ANF}=90°`
+) Xét $∆AEN$ và $∆AFN$ có:
`\hat{ANE}=\hat{ANF}=90°` (c/m trên)
$AN$ là cạnh chung
`\hat{EAN}=\hat{FAN}` (c/m trên)
`=>∆AEN=∆AFN` (g-c-g)
`=>AE=AF` (hai cạnh tương ứng)
`\qquad \hat{AEN}=\hat{AFN}` (hai góc tương ứng)
$\\$
Vẽ $BD$ //$AC$, $D\in EF$
+) Xét $∆BDM$ va $∆CFM$ có:
`\hat{DBM}=\hat{FCM}` (hai góc so le trong do $BD$//$AC$)
`BM=CM` (vì $M$ là trung điểm $BC$)
`\hat{BMD}=\hat{CMF}` (hai góc đối đỉnh)
`=>∆BDM=∆CFM` (g-c-g)
`=>BD=CF` (hai cạnh tương ứng)
`\qquad \hat{BDM}=\hat{CFM}` (hai góc tương ứng)
Mà: `\hat{BDM}+\hat{BDE}=180°` (hai góc kề bù)
`\qquad \hat{CFM}+\hat{AFN}=180°` (hai góc kề bù)
`=>\hat{BDE}=\hat{AFN}`
Mà `\hat{AEN}=\hat{AFN}` (đã c/m)
`=>\hat{BDE}=\hat{AEN}`
`=>\hat{BDE}=\hat{BED}`
`=>∆BDE` cân tại $B$
`=>BD=BE`
Mà $BD=CF$ (c/m trên)
`=>BE=CF` (đpcm)
$\\$
`2)` Ta có: $AE=AF$ (đã c/m)
`\qquad 2AE=AE+AE=AE+AF`
`<=>2AE=(AB+BE)+(AC-CF)`
`<=>2AE=AB+AC+(BE-CF)`
`<=>2AE=AB+AC+(BE-BE)`
`<=>2AE=AB+AC`
`<=>AE={AB+AC}/ 2 ` (đpcm)
