Giải thích các bước giải:
a.Ta có :
$AI\perp BI, AH\perp BH\to\widehat{AHB}=\widehat{AIB}=90^o\to\Diamond AHIB$ nội tiếp
Lại có :$AH\perp CH, AK\perp CK\to \widehat{AKC}+\widehat{AHC}=180^o\to\Diamond AKCH$ nội tiếp
b.Ta có : $\widehat{AMC}=\widehat{ABH},\widehat{AHB}=\widehat{AKM}=90^o$
$\to\Delta ABH\sim\Delta AKM(g.g)\to\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{AB}{AK}\to AB.AH=AM.AK$
c.Ta có :
$\widehat{AHK}=\widehat{ACK}=\widehat{ABI}\to\widehat{AHI}+\widehat{AHK}=\widehat{AHI}+\widehat{ABI}=180^o$
$\to I, H, K$ thẳng hàng
$\to IK$ đi qua H cố định
d.Ta có :
$P=AI.BM+AK.CM=2S_{ABM}+2S_{ACM}=2S_{ABMC}=2(S_{ABC}+S{MBC})$
$\to P_{max} \leftrightarrow S_{MBC}max$
Mà $S_{MBC}=\dfrac 12 MD.BC\le \dfrac 12 EF.BC\to M\equiv E$ là điểm chính giữa cung BC