Lời giải:

Ta luôn có $B,G,M,H$ thẳng hàng.

Vì $H$ đối xứng với $B$ qua $G$ nên $BG=GH$; mà theo tính chất trọng tâm tam giác thì $GM=\frac{1}{2}BG$ $\Rightarrow GM=\frac{1}{2}GH$. Do đó $M$ là trung điểm của $GH$

$\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\overrightarrow{GM}$ (1)

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}\\ \overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CM}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM})$

Mà $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}=0$ do $M$ là trung điểm $AC$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{GM}=2(\overrightarrow {GB}+\overrightarrow{BA})+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$

Mà $MG=\frac{1}{2}BG$ (cmt) do đó $\overrightarrow{GM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BG}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow {GM}=-4\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow 6\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \overrightarrow{GM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ (2)

Từ $(1),(2)\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$