1)
ΔABC có AB = AC
⇒ ΔABC cân tại A ⇒ ∠B = ∠ACB
Mà ∠A = $120^{o}$ ⇒ ∠B = ∠ACB = $30^{o}$
Có AI là tia phân giác của ∠A
⇒ ∠HAI = ∠KAI = $\frac{120^{o}}{2}$ = $60^{o}$
Xét ΔAIH và ΔAIK có:
∠AHI = ∠AHI = $90^{o}$
AI: cạnh chung
∠HAI = ∠KAI (cmt)
⇒ ΔAIH = ΔAIK (cạnh huyền-góc nhọn)
⇒ IH = IK (2 cạnh tương ứng) ⇒ ΔIHK cân tại I (1)
∠AIH = ∠AIK (2 góc tương ứng)
ΔAIH vuông tại H
⇒ ∠AIH + ∠HAI = $90^{o}$
⇒ ∠AIH + $60^{o}$ = $90^{o}$
⇒ ∠AIH = $30^{o}$
Mà ∠AIH = ∠AIK (cmt)
⇒ ∠HIK = ∠AIH + ∠AIK = $30^{o}$ + $30^{o}$ = $60^{o}$ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ΔIHK đều (đpcm)
⇒ ∠IKH = $60^{o}$
⇒ ∠CKH + ∠ICA = ∠IKH + ∠IKC + ∠ICA = $60^{o}$ + $90^{o} + $30^{o}$ = $180^{o}$
Mà ∠CKH và ∠ICA nằm ở vị trí trong cùng phía
⇒ HK // BC (đpcm)
2) Ta có: ∠BAC + ∠CAD = $180^{o}$ (2 góc kề bù)
⇒ $120^{o}$ + ∠CAD = $180^{o}$
⇒ ∠CAD = $60^{o}$ (1)
Có AD = AB; mà AB = AC (gt)
⇒ AD = AC ⇒ ΔACD cân tại A (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ΔACD đều
3) ΔACD đều (theo 2) ⇒ ∠ACD = $60^{o}$
Ta có: ∠BCA + ∠ACD = ∠BCD
⇒ $30^{o}$ + $60^{o}$ = ∠BCD
⇒ $90^{o}$ = ∠BCD
ΔBCD có ∠BCD = $90^{o}$
⇒ ΔBCD vuông tại C
