Giải thích các bước giải:
a, M là điểm đối xứng với D qua AB ⇒ DM ⊥ AB
N là điểm đối xứng với D qua AC ⇒ DN ⊥ AC
Tứ giác AEDF có 3 góc vuông ($\widehat{A}$, $\widehat{E}$, $\widehat{F}$) nên là hình chữ nhật
b, DE ⊥ AB , AB ⊥ AC ⇒ DE ║ AC
ΔABC có D là trung điểm của BC, DE ║ AC ⇒ E là trung điểm của AB
Tứ giác ADBM có 2 đường chéo AB, DM cắt nhau tại E là trung điểm mỗi đường
⇒ ADBM là hình bình hành mà AB ⊥ DM
⇒ ADBM là hình thoi
Chứng minh tương tự, ta có ADCN là hình thoi
c, ADBM là hình thoi ⇒ AM = AD và $\widehat{EAM}$ = $\widehat{EAD}$
ADCN là hình thoi ⇒ AN = AD và $\widehat{FAD}$ = $\widehat{FAN}$
Suy ra: AM = AN
và $\widehat{MAN}$ = $\widehat{EAM}$ + $\widehat{EAD}$ + $\widehat{FAD}$ + $\widehat{FAN}$ = 2.$\widehat{BAC}$ = 2.$90^{o}$ = $180^{o}$
⇒ AM = AN và M, A, N thẳng hàng
⇒ M đối xứng với N qua A (đpcm)
d, Hình chữ nhật AEDF là hình vuông ⇔ AE = AF ⇔ AB = AC
⇔ ΔABC vuông cân ở A
e, AC = 10cm ⇒ DE = 5cm
$S_{ADBM}$ = AB.DE = 12.5 = 60 $cm^{2}$
AB = 12cm ⇒ DF = 6cm
$S_{AEDF}$ = AE.AF = 6.5 = 30 $cm^{2}$