$\vec{CM}=\vec{CA}+\vec{AM}=\vec{CB}+\vec{BA}+\dfrac{\vec{AB}}{2}$
$\vec{BN}=\vec{BA}+\vec{AN}=\vec{BA}+\dfrac{\vec{AC}}{2}$
$=\vec{BA}+\dfrac{\vec{AB}+\vec{BC}}{2}$
$\Rightarrow -\dfrac{2}{3}.\vec{CM}=-\dfrac{2}{3}.(\vec{CB}+\vec{BA}+\dfrac{\vec{AB}}{2})=-\dfrac{2}{3}\vec{CB}-\dfrac{2}{3}\vec{BA}+\dfrac{\vec{BA}}{3}$
$=-\dfrac{2}{3}\vec{CB}-\dfrac{\vec{BA}}{3}$
$-\dfrac{4}{3}\vec{BN}=-\dfrac{4}{3}(\vec{BA}+\dfrac{\vec{AB}+\vec{BC}}{2})$
$=-\dfrac{4}{3}\vec{BA}-\dfrac{2}{3}\vec{AB}-\dfrac{2}{3}\vec{BC}$
$=-\dfrac{4}{3}\vec{BA}+\dfrac{2}{3}\vec{BA}+\dfrac{2}{3}\vec{CB}$
$=-\dfrac{2}{3}\vec{BA}+\dfrac{2}{3}\vec{CB}$
$\Rightarrow -\dfrac{2}{3}.\vec{CM}-\dfrac{4}{3}\vec{BN}=-\dfrac{2}{3}\vec{CB}-\dfrac{1}{3}\vec{BA}+(-\dfrac{2}{3}\vec{BA}+\dfrac{2}{3}\vec{CB})$
$=-\vec{BA}=\vec{AB}$
