Đáp án:
` a,\triangle ABC` `~` `\triangle EFC `
`b,IH=IK;NC=ND`
`c,``(AH)/(HE)+(BH)/(HF)+(CH)/(HG)>6`
Giải thích các bước giải:
`Xét ` `\triangle CAE` `và` `\triangle CBF` ` có `
`\hat{ACB} ` ` chung`
`\hat{CEA}=\hat{BFC}(=90^0)`
`=>``\triangle CAE ~ \triangle CBF``(g.g)`
`=>(CA)/(BC)=(CE)/(CF)`
` Xét ` `\triangle ABC` `và` `\triangle EFC ` ` có`
`\hat{ACB} ` ` chung `
`(CA)/(BC)=(CE)/(CF)`
`=>` `\triangle ABC` `~` `\triangle EFC `
` Vậy ` `\triangle ABC` `~` `\triangle EFC `
`b,` ` Có ` `IK` `/ ` `/ ` `CD`
` Và ` `IK⊥HM`
`=>HM⊥CD`
` Mà ` `CE⊥HN`
`=> M` ` là ` ` trực ` ` tâm ` `\triangleCHN`
`=>NM⊥CH`
` Mà ` ` HC⊥BD`
`=>MN` `/` ` /` `BD`
`Mà ` ` M ` ` là ` ` trung` ` điểm ` ` BC`
`=> N ` ` là ` ` trung ` ` điểm ` `CD`
`=>NC=ND`
` Xét ` ` \triangleACN ` ` có ` ` HK` ` / ` ` / ` `CN`
`=>(HK)/(CN)=(AH)/(AN)`
`C``M``T``T` `(HI)/(CD)=(AH)/(AN)`
`=>(HK)/(CN)=(HI)/(CD)`
`=>HK=HI`
` Vậy ` `IH=IK;NC=ND`
`c,` ` G ` ` là ` ` giao ` ` điểm ` ` CH ` ` và ` `AB`
`=>CG⊥AB`
`S_(AHC)=(CE.AH)/2`
`S_(CHE)=(CE.HE)/2`
`=>[S_(AHC)]/[S_(CHE)]=(AH)/(HE)`
`S_(ABH)=(BE.AH)/2`
`S_(BHE)=(BE.HE)/2`
`[S_(AHB)]/[S_(BHE)]=(AH)/(HE)`
`=>(AH)/(HE)=[S_(AHB)]/[S_(BHE)]=[S_(AHC)]/[S_(CHE)]=[S_(AHB)+S_(AHC)]/[S_(BHE)+S_(CHE)]`
`=[S_(AHB)+S_(AHC)]/[S_(HBC]`
` C``M``T``T ` ` ta ` ` có `
`(BH)/(HF)=[S_(CHB)+S_(AHB)]/[S_(ACH)]`
`(CH)/(HG)=[S_(BHC)+S_(AHC)]/[S_(AHB)]`
` Đặt ` `S_(BHC)=S_1``(S_1>0)`
`S_(AHC)=S_2``(S_2>0)`
`S_(AHB)=S_3``(S_3>0)`
`=>(AH)/(HE)+(BH)/(HF)+(CH)/(HG)=(S_1)/(S_2)+(S_2)/(S_3)+(S_1)/(S_3)+(S_2)/(S_1)+(S_3)/(S_2)+(S_3)/(S_1)`
` Áp ` ` bất ` ` đẳng ` ` thức ` ` Cô-si `
`(S_1)/(S_2)+(S_2)/(S_1)>=2`
`(S_1)/(S_3)+(S_3)/(S_1)>=2`
`(S_3)/(S_2)+(S_2)/(S_3)>=2`
`=>(AH)/(HE)+(BH)/(HF)+(CH)/(HG)>=6`
` Dấu ` ` =` ` xảy ` `ra `
`<=> \triangle ` ` ABC` ` đều `
` Mà ` `\triangleABC ` ` có ` `AB<AC`
`=> Dấu ` ` = ` ` không ` ` xảy ` `ra `
` Vậy ` `(AH)/(HE)+(BH)/(HF)+(CH)/(HG)>6`
