`a)`
Xét `ΔAIH` và `ΔAEB` có:
`hat{AIH}=hat{AEB}=90^o`
`hat{A}:chung`
`⇒ΔAIH`$\backsim$`ΔAEB(g.g)(đpcm)`
`b)`
Theo câu `a)ΔAIH`$\backsim$`ΔAEB(g.g)`
`⇒(AI)/(AE)=(AH)/(AB)`
Hay `(AB)/(AE)=(AH)/(AI)`
Xét `ΔABH` và `ΔAEI` có:
`hat{A}:chung`
`(AB)/(AE)=(AH)/(AI)(cmt)`
`⇒ΔABH`$\backsim$`ΔAEI(c.g.c)`
`⇒hat{ABH}=hat{AEI}(2` góc tương ứng `)(đpcm)`
`c)`
Xét `ΔABC` có:
`AE⊥BC(g``t)`
`CI⊥AB(g``t)`
`AE∩CI={H}`
`⇒H` là trực tâm của `ΔABC`
`⇒BD⊥AC`
Xét `ΔBEH` và `ΔBDC` có:
`hat{BEH}=hat{BDC}=90^o`
`hat{B}:chung`
`⇒ΔBEH`$\backsim$`ΔBDC(g.g)`
`⇒(BE)/(BD)=(BH)/(BC)`
`⇒BH.BD=BE.BC(1)`
Xét `ΔCEH` và `ΔCIB` có:
`hat{CEH}=hat{CIB}=90^o`
`hat{C}:chung`
`⇒ΔCEH`$\backsim$`ΔCIB(g.g)`
`⇒(CH)/(CB)=(CE)/(CI)`
`⇒CH.CI=CE.CB(2)`
Cộng vế theo vế `(1)` và `(2)` ta được:
`BH.BD+CH.CI=BE.BC+CE.CB`
`⇒BH.BD+CH.CI=BC.(BE+CE)`
`⇒BH.BD+CH.CI=BC.BC`
`⇒BH.BD+CH.CI=BC²(đpcm)`
`d)`
Xét `ΔIHB` và `ΔDHC` có:
`hat{IHB}=hat{DHC}(2` góc đối đỉnh `)`
`hat{HIB}=hat{HDC}=90^o`
`⇒ΔIHB`$\backsim$`ΔDHC(g.g)`
`⇒(HI)/(HD)=(HB)/(HC)`
Hay `(HI)/(HB)=(HD)/(HC)`
Xét `ΔIHD` và `ΔBHC` có:
`(HI)/(HB)=(HD)/(HC)(cmt)`
`hat{IHD}=hat{BHC}(2` góc đối đỉnh `)`
`⇒ΔIHD`$\backsim$`ΔBHC(c.g.c)`
`⇒hat{D_1}=hat{C_1}(2` góc tương ứng `)`
Xét `ΔMBD` và `ΔMIC` có:
`hat{D_1}=hat{C_1}(cmt)`
`hat{M}:chung`
`⇒ΔMBD`$\backsim$`ΔMIC(g.g)`
`⇒(MB)/(MI)=(MD)/(MC)`
`⇒MI.MD=MB.MC(đpcm)`
