Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`y=1/3 x^3-mx^2+(m+2)x-m^2+1`
TXĐ: `D=\mathbb{R}`
`y'=x^2-2mx+m+2`
Để HS đồng biến trên `(1;+∞)`
`y' \ge 0 \forall x \in (1;+∞)`
`⇔ x^2-2mx+m+2 \ge 0 \forall x \in (1;+∞)`
`⇔ x^2+2 \ge 2mx-m \forall x \in (1;+∞)`
`⇔ x^2+2 \ge m(2x-1) \forall x \in (1;+∞)`
`⇔ \frac{x^2+2}{2x-1} \ge m \forall x \in (1;+∞)`
Đặt `f(x)=\frac{x^2+2}{2x-1}`
`⇒ m \le f(x)`
`f'(x)=\frac{2(x-2)(x+1)}{(2x-1)^2}`
`f'(x)=0⇒` \(\left[ \begin{array}{l}x=2 \in (1;+∞)\\x = -1 \notin (1;+∞)\end{array} \right.\)
Ta có BBT:
`\Rightarrow min_{(1;+\infty)} f(x)=2`
Vậy `m \le 2`
