Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
a) Sử dụng bài toán phương tích
b) Kẻ các đường vuông góc từ \(N,I\) tới cạnh \(BC.\) Gọi các chân đường vuông góc là \(P,T\). Để chứng minh \(I\) là trung điểm của \(ON\), ta chứng minh \(T\) là trung điểm của \(MP\).Giải chi tiết:
a) Do \(\Delta AHC \sim \Delta MKC \Rightarrow \frac{{CH}}{{CK}} = \frac{{CA}}{{CM}} \Rightarrow CH.CM = CK.CA\left( 1 \right)\)
Vì tứ giác \(ABDK\)nội tiếp nên \(\angle ABK = \angle DKC \Rightarrow \Delta CBA \sim \Delta CKD(g.g)\)
\( \Rightarrow \frac{{CB}}{{CK}} = \frac{{CA}}{{CD}} \Rightarrow CB.CD = CK.CA\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(CH.CM = CB.CD\)
b) Gọi \(P,T\)lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(N,I\) lên cạnh \(BC\)
Suy ra \(P\) là trung điểm \(HB\) (vì \(NP\) là đường trung bình của \(\Delta ABH\))
Xét đường tròn \(\left( I \right)\) có \(IT \bot BD\) nên \(TB = TD\,\,\left( 3 \right)\)
\(CH.CM = CB.CD \Rightarrow CH = 2CD\)
Có \(BP = \frac{1}{2}BH = \frac{1}{2}\left( {BC - HC} \right) = MC - DC = MD\,\,\left( 4 \right)\)
Từ \(\left( 3 \right),\left( 4 \right)\)suy ra \(T\) là trung điểm của \(MP\)
Dễ thấy \(I,O,N\) thẳng hàng vì cùng thuộc trung trực \(AB\)
Suy ra \(IT\) là đường trung bình của hình thang \(NOMP\)
Vậy \(I\) là trung điểm \(ON\).
