Ta có:
$\widehat{NAK} = \widehat{AKD}$ (so le trong)
mà $\widehat{AKD} = \widehat{ACB}$ (cùng phụ $\widehat{HAC}$)
nên $\widehat{NAK} =\widehat{ACB}$
Xét $∆ANK$ và $∆CAB$ có:
$\widehat{NAK} = \widehat{ACB} \, (cmt)$
$\widehat{AKN} = \widehat{CBA}$ (cùng phụ $\widehat{HAB}$)
Do đó $∆ANK\sim ∆CAB \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{NK}{AB} = \dfrac{NA}{AC}$
$\Rightarrow NK.AC = NA.AB$
Ta có: $∆EAK$ vuông tại $E$
$\Rightarrow I$ là trung điểm $AK$
$\Rightarrow IA = IK = IE = R_{(I)}$
$\Rightarrow ∆IEK$ cân tại $I$
$\Rightarrow \widehat{IEK} = \widehat{IKE}$ $(1)$
Ta lại có: $∆EBC$ vuông tại $E$ có:
$M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$
$\Rightarrow MB = MC = ME$
$\Rightarrow ∆MEC$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{MEC} = \widehat{MCE}$
mà $\widehat{MCE} =\widehat{HAB}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)
nên $\widehat{MEC} = \widehat{HAB}$
hay $\widehat{MEC} = \widehat{KAE}$ $(2)$
Từ $(1)(2) \Rightarrow \widehat{IEM} = \widehat{IEK} + \widehat{MEC} =\widehat{IKE} + \widehat{KAE} = 90^o$
$\Rightarrow IE\perp ME$
$\Rightarrow ME$ là tiếp tuyến của $(I)$
