$a)$ Ta có: $FP//AC \, (gt)$
$\Rightarrow \dfrac{HP}{HQ} = \dfrac{HF}{HC}$ (Theo Thales)
mà $HF = HC \, (gt)$
nên $\dfrac{HF}{HC} = 1$
$\Rightarrow \dfrac{HP}{HQ} = 1$
$\Rightarrow HP = HQ$
$b)$ Ta có $FP//AC \, (gt)$
mà $BD\perp AC \, (gt)$
$\Rightarrow FP\perp BD$
hay $FP\perp BH$
Ta lại có:
$CE\perp AB \, (gt)$
$\Rightarrow BP\perp FH$
Xét $ΔFHB$ có:
$FP\perp BH \, (cmt)$
$BP \perp FH \, (cmt)$
$\Rightarrow P$ là trực tâm
$\Rightarrow HP\perp FB$ $(1)$
Xét $ΔBFC$ có:
$BM = MC \, (gt)$
$HF = HC \, (gt)$
$\Rightarrow HM$ là đường trung bình
$\Rightarrow HM//FB$ $(2)$
Từ $(1)(2) \Rightarrow HM\perp HP$
hay $HM\perp PQ$
$c)$ Xét $ΔBEC$ vuông tại $E$ có:
$M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$
$\Rightarrow ME = MB = MC$
Tương tự với các tam giác $ΔBDC, \, ΔEHA, \, ΔDHA$ lần lượt vuông tại $D, \, E, \, D$
$\Rightarrow \begin{cases}MD = MB = MC\\JA = JH = JE\\JA=JH = JD\end{cases}$
$\Rightarrow MJ$ là trung trực của $ED$
Ta lại có: $IE = ID$
$\Rightarrow I \in$ trung trực của $ED$
$\Rightarrow I \in MJ$
$\Rightarrow J,I,M$ thẳng hàng
